Continuación

 

4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas

La función derivada

La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales

1) f(x)  =k Þ f´(x) =0

2) f(x) =  xⁿ Þ f´(x) = nx^n-1

3) f(x) =  Þ f´(x) =

 

4) f(x) = ln x Þ f´(x) =

5) f(x) = e^x Þ = e^x

6) f(x) = sen x Þ f´(x) = cos x

7) f(x) = cos x Þ f´(x) = -sen x

Reglas de derivación

Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:

-(f +g)´= f´(a) + g´(a)

-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)

Además si g(a)0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-

Ejercicio 6. Calcula la derivada de:

a) f(x) = e^x(x²- 3x + 2); b)

c) h(x) = tan  x;  d)

 

Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:

a) f(x)=

b) y =

c) g(x)=

 

Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda, y  f´´´, f ´ ^v  que se dice son las derivadas sucesivas de f.

 

Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= e^x; b) g(x) =; c) h(x)= sen x.

 

Regla de la cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f_°g es derivable en a y se verifica:

(f_°g)´(a) = f´(g(a)).g´(a)

Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)

Ejemplo. La derivada de la función f(x)=sen (3x²-1) es aplicando la regla de la cadena f’(x)=6x cos (3x²-1)

Derivación logarítmica

Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si Þ y, y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.

 

Ejemplo 4. Consideremos la función y = x ^x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:

, y  derivando los dos miembros de la igualdad

Þ y’=x^x(ln x +1)

Derivada de la función inversa

Es otra aplicación de la regla de la cadena.

Como f_°f ^-1= I, se tiene (f_°f ^–1)’(x)= f ’(f ^–1(x))(f ^–1)’(x)=1, luego despejando

(f ^–1)’(x)= 1/f ’(f ^–1)’(x),

Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x  Þ x = tg y,  y derivando x ’ = 1 +tg²y, de donde:

Ejercicio 9. Calcula la derivada de

Tabla de derivadas de algunas funciones compuestas

1) h(x) =  [f(x)]ⁿ Þ h´(x) = n[f(x)]^n-1f’(x),  para cualquier valor de  n

Ejemplo. Si y=(2x³+3)⁵ se tiene y’ =5(2x³+3)⁴.6x²= 30x²(2x³+3)⁴

 

2) h(x) =  Þ h´(x) =   (aunque estaba incluida en la anterior para n=1/2)

Ejemplo. Si f(x)= Þ f’(x)=

3) h(x) = ln f(x) Þ h´(x) =

Ejemplo. y= ln (4x²+3) Þ y’=

 

4) f(x) = e^g(x) Þ f’(x)= e^g(x)g’(x)

Ejemplo. y= Þ y’ =6x²

 

5) f(x) = sen g(x) Þ f´(x) = g’(x).cos g(x)

(ver ejemplo )

6) f(x) = cos g(x) Þ f´(x) = - g’(x).sen g(x)

Ejemplo.  y= cos (5-4x³) Þ y’= -12x²sen (5-4x³)

7) h(x) = arc tag f(x) Þ h’(x)=

Ejemplo. y= Þ y’=

 

 Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)= ;    b) ;

 c) y =;   d) h(x) =cos³(x²-2); 

e) y =e ^{arc tg x};                    f) j(x) =arc sen(x + 3x²)

g) y =;    h) k(x) =(x²+1)^{cos x};

 j) y = ln ; k) y = ;

Continua

 

Si necesitas ejercicios o problemas del tema de derivadas visita las siguientes páginas:

Aplicaciones al cálculo de máximos y mínimos                   Representación gráfica                      Problemas de derivadas   

ó

Matemáticas en el Bachillerato