2º Parte: Álgebra
Expresiones Algebraicas. Polinomios
A) Traduce a lenguaje algebraico:
1. El triple de un número.
2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.
3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos.
4. Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades
Solución: 5(2x-5)
5. Expresa algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado x.
 |
x
B) Asocia
cada una de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponde:
|
1) La suma de los cuadrados de dos números |
|
|
2) El espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad por el tiempo que está en movimiento |
|
|
3) El área del circulo de radio x |
(x +y)2= x2+ y2+ 2xy |
|
4) Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5 |
E = v .t |
|
5) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto |
x2+ y2 (1) |
|
6) Media aritmética de tres números |
Px2 |
C) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican:
1. 2x +1 para x =0
2. x2 + y2 para x =1 , y =3
3. (1-2x)(1+ 2x) para x = 2
4. 
para
x =3, y =2, z =4
Solución =
=3
5. x2+ y2+ 2xy para x =1, y =2
6. –2x2y3 para x =2, y = 2
D) Identidades notables.
Cuadrado de una
suma
Cuadrado
de una
diferencia
Diferencia
de
cuadrados
1) Desarrolla las siguientes expresiones:
a) (x +2)2
b) (x -1)2
c) (2x +3)2
d) (x +2)(x –2)
e) (2x –1)(2x +1)
f) (3x – y)2
g) (2x –3y)(2x +3y) = 4x2 –9y2
h) (x -1)3
i) (x +5)2-(x-3)2
2) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
a) 3x4 -2x2
b) x2 –1
c) x2 +6x +9
Solución. No tiene ningún factor común , es una identidad notable: (x +3)2= x2 +6x +9
d) x2 + 4 +4x
e) 4x2-y2
f) 9 –6x +x2
g) 2x –4x2y
h) x2 +x y +x z +y z
Solución: x(x +y) +z(x +y) =(x +z) (x + y)
i) a x –ay –b x +by
3) Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos
a) x2+ 2x+.....
b) 4x2 + 8x+......
Solución: 4x2 + 8x +4 = (2x +2)2
c) 9x2 -....+ 16
E) Calcula el grado de los siguientes polinomios:
1. –2x2y3 2. . x2+ y2+ 2xy
3. 
Solución:
2+4+2 =8
4. (x +5)2-(x-3)2
5. 7x5-3x2-6x4+2+x
F) Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.
1) 3(x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4)
2) 
3) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2
4) (3x3 –x + 5) (2x3 +1)
5) (x3y3 + 2) (x3y3 - 2)
6) (7x3 –5x+3) (2x2 +x-1)
7) 
Solución: 
= 4x-12
+21x-9-24 = 25x -45
8) 
9) 
G) Operaciones con expresiones algebraicas:
1) Multiplica la siguiente expresión por 12 y simplifica el resultado:
2) Multiplica por 20 y simplifica el resultado:
H) Divide los siguientes polinomios:
1) 15 a3b2c : 6 a2c =
=
2) 5 x3y2z4 : 3 x2z2
3) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1)
4) (2x3 +6x2 +11x+4) : (x-3)
5) (x4 -6x3 +5x2-4x+1): (x2 –x +5)
6) (x3 +6x2 +5x+4): (x2 –3x +1)
Solución
x3 + 6x2 +5x +4 x2 –3x +1
-x3 +3x2 -x x +9
/ 9x2 + 4x +4
-9x2 + 27x-9
/ 31x –5
7) (x4 -5x3 +3x2-2x+5): (x2 +x -3)
Nota. Cuando el divisor es un binomio de la forma (x-a) se puede aplicar la regla de Ruffini, que utiliza sólo los coeficientes
Ejemplo. Divide x3-3x2+ 5x-7 entre (x-3)
Se hace la siguiente disposición de la figura.
El cociente es x2+5 y el resto 8
1) (x3 –x2 -16x -3): (x -3)
Solución: Utilizando Ruffini quedaría
Nos queda que el cociente es x2 +2x – 10 y el resto -33
2) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1)
3) (3x4 +6x2 +11x+4) : (x-2)
4) (x3 + 1) : (x +1)
5) (–x4 +2x3 +5x -3):(x+3)
Ampliación
Teorema del resto.
El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a) es el valor numérico del polinomio en x =a, es decir el resto es el valor de P al sustituir la x por a,
R =P(a).
Ejemplo: El resto de la división ( x3 -2x2 +3x -4):(x-1) es:
13-2.12+3.1-4=1-2+3-4= -2 (comprobarlo)
1. Calcula el resto de la división (x3 –x2 -16x -3): (x -3) sin efectuarla
2. Calcula el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta:
a) P(x) = x3 -x2 +k.x -4, Q(x) = (x-2)
b) P(x) = x4 -2x3 +3x2 –k x -5; Q(x) = (x +1)
2. Calcula el valor de k, para que el resto de la división del polinomio x4 –k x3 +3x2 – x +4 entre el binomio x +2 nos dé15.
Factorización
Factorizar un polinomio es ponerle como producto de sus factores (se llama también descomposición en factores del polinomio).
Para factorizar hay que tener en cuenta las identidades notables, el sacar factor común, la regla de Ruffini, y la resolución de ecuaciones (de 2º grado) para la búsqueda de raíces.
Ejemplo: Factoriza x3-5x2+ 4x
Solución
En primer lugar se saca factor común x, x3-5x2+ 4x =x(x2-5x+4)
El segundo factor es un polinomio de 2º grado, y para encontrar los otros factores se puede obtener las raíces aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado.
x =
por
tanto los factores son (x-4) y (x-1)
El polinomio factorizado es: x(x-4)(x-1).
Nota: También podría haberse usado Ruffini para el cálculo de las raíces, ya que son enteras
d) x3 -11x2 +34x -24
e) x4 -11x3 +33x2 -9x -54
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Polinomios o Ejercicios de profundización
Fracciones Algebraicas
A) Hallar el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas en los puntos que se indican:
1) 
en
x = 1, x =3.
2) 
en
x = 2, x = 0.
3) 
en x =1, x =2
Solución:
En x = 1 
No existe
este valor, no se puede dividir por cero, no se puede calcular el valor numérico
en x =1.
En x =2 
4)
en x =-2, 0, 1 y 2
B) Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:
1) 
y
2) 
y
Solución. Se tiene:
(x-2)(x2-4) = x3 -4x -2x2+8 = x3 -2x2 -4x +8
(x +2)(x2-4x+4) = x3 -4x2 +4x+ 2x2 -8x +8 = x3 -2x2 -4x +8
Son equivalentes.
C) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas, en los casos posibles:
1)
2)
3)
4)
5)
Solución.
Se tiene ==
6)
D) Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado en los casos que se pueda.
1) 
.
2) 
3) 
4) 
Solución. Primero reducimos a común denominador y después sumamos los numeradores:
m .c. m (x, x +1) = x(x +1) =x2+ x
=
5) 
6) 
7) 
8)
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Polinomios y fracciones algebraicas
Cuaderno de actividades 3º ESO
