CONTINUACIÓN
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.
Ejemplo 16: 
es un sistema de 2
ecuaciones con dos incógnitas
Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución.
Hay tres métodos para resolverlos:
Sustitución
Ejemplo 17. 
En la 2ª ecuación despejamos la y y la sustituimos en 1ª ecuación
y =3x; 2x +3(3x) =1Þ 11x =1
Þ x =1/11
Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se sustituye (y =3x) para encontrar el valor de la otra incógnita:
y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las incógnitas es 1.
Igualación
Ejemplo 18. Resuelve el sistema:
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones
;
y =3x.
Igualando 
Þ 1-2x =9x Þ
1= 11x Þ x =1/11
Ahora para obtener el valor de la y se procede como en el caso anterior, es decir se sustituye el valor hallado en la ecuación que más convenga
En este caso en y =3x, nos queda y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de una de las incógnitas es igual en las dos ecuaciones.
Reducción
Ejemplo 19. 
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 3. (De esta forma el coeficiente de y en las dos ecuaciones es el mismo, el m.c.m.
Resulta: Þ 
Sumando obtenemos 13 x =2 Þ
Sustituyendo el valor encontrado de x en la segunda ecuación:
y =3/13
Observación. Este método es muy adecuado en todos los casos.
Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar el valor de la otra incógnita. (Ver ejercicio resuelto)
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:
1) 
2) 
3) 
4)
5) 
6) 
7)
Solución
Para quitar los denominadores multiplicamos por 4 la 1ª
ecuación Þ
Le resolvemos por reducción doble.
Multiplicamos la 2ª ecuación por –2 Þ
Sumando las dos ecuaciones obtenemos una equivalente: -3y = -12Þy =4
Para encontrar el valor de x, eliminamos la y, para ello multiplicando la 1ª por -2
sumando –3x= -12Þ x =4
8) 
Problemas de aplicación
1) Calcula dos número cuya suma sea 8 y su producto 12.
2) La suma de dos número es 65 y su diferencia 23. Halla los números
3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1. Halla dichos números.
Sistemas de ecuaciones de 2º grado
Son aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de 2º grado. Veremos con un ejemplo como proceder para obtener las soluciones
Ejemplo 20. Sea el sistema 
En la 2ª ecuación despejamos la y, y la sustituimos en la 1ª
y = 2x-4Þ 2x2+(2x –4)2=22
2x2 +4x2 –16x +16=22; 6x2-16x-6=0,
Simplificando por 2 obtenemos:3x2-8x-3=0, que es una ecuación de 2º grado completa:
=
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas:
1) 
2) 
3)
Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases[1]:
1ª. Comprender el problema.
Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:
¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la incógnita o incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son insuficientes?.. .
2ª Concebir un plan.
Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.
De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares.
¿Conoces problemas relacionados con éste?
¿Podrías plantear el problema de forma diferente?
¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...
¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?
.................
Obtener finalmente un plan de solución.
Para nuestro caso:
Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.
3ª. Ejecutar el plan.
Resuelve el sistema por los métodos estudiados.
4ª. Examinar la solución obtenida.
Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.
Ejemplo 21.. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?
Solución. Sólo en este problema indicaremos con detalle las 4 fases
1º. Comprender el problema.
Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas.
Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.
Ordenamos los elementos del problema:
|
|
Hoy |
dentro de 8 años |
|
La madre |
x |
x + 8 |
|
La hija |
y |
y + 8 |
2º. Concebir un plan.
Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:
x = 27 + y
x + 8 = 2(y +8)
Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el método de sustitución.
3º Ejecutar el plan.
x = 27 + y
Entonces:
27 + y +8 = 2(y +8) de donde 35 -16 = y Þ y = 19, x = 46
4º Examinar la solución obtenida .
La solución obtenida es factible por ser entera.
El método empleado se puede usar en problemas “similares”.
Problemas resueltos
1. La edad de una madre es siete veces la de su hija. La diferencia entre sus edades es de 24 años. ¿qué edad tienen?.
Solución
Llamamos x a la edad de la hija, luego 7x será la edad de la madre.
7x –x =24Þ 6x =24 Þ x =4
Luego edad de la hija 4 años y edad de la madre 28 años
2. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
Solución
Llamamos x al número que buscamos, la mitad del número es x/2 y su cuarta parte x/4
Entonces: 
Multiplicamos por el m.c.m. que es 4. Nos queda:
2x +x + 4 = 4x
x =4
3. Se atribuye a Pitágoras la siguiente respuesta sobre el número de sus discípulos:
- Una mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parte guarda silencio, y además hay tres mujeres.
¿Cuántos discípulos tenía?
Solución
Llamamos x al número de sus discípulos.
Traduciendo a lenguaje algebraico las condiciones, se tiene:
Multiplicando por 20, que es el m.c.m. , quitamos todos los denominadores
10x +5x +4x +60 =20x
Es decir, x = 60 discípulos
4. Dos poblaciones A y B distan 25km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4km/h. Simultáneamente sale de B hacia A otro peatón a 6km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse.
Solución
A ½ B
25km
El espacio que recorre el peatón que sale de A es: E = v A t =4.t
El espacio que recorre el peatón que sale de B es: E = v B t = 6t
Cuando se encuentran habrán recorrido entre ambos los 25km
Por lo tanto: 4t +6t =25
10 t = 25 Þ t = 2,5 horas
Tardan en encontrarse 2 horas y media
5. En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?.
Solución
Llamamos x al número de conejos, y al número de palomas habrá entonces
x +y =35
Lo conejos tienen 4 patas, hay 4x patas de conejos
Las palomas 2 patas, luego tendremos 2y patas de palomas
El número de patas en total es 94 4x + 2y= 94Þ
Es decir 
lo
resolvemos por sustitución = y = 35 -x
4x +2(35 –x) = 94
4x + 70 –2x =94
2x =24 Þ x =12 y =35 –12 =23
Hay 12 conejos y 23 palomas
6. Había doble de leche en un envase que en otro. Cuando se extrajeron 15 litros de leche de ambos envases, entonces había tres veces mas leche en el primer envase que en el segundo. ¿Cuánta leche había originariamente en cada envase.
Solución.
Llamamos x al nº de litros de un envase.
En el otro envase habrá 2x litros.
Al extraer 20 litros de cada envase nos quedan
x -15 2x –15
2x –15=3(x –15) =3x – 45
x =30
En un envase había 30 litros y en el otro 60 litros
7. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y éste 3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?
Solución
Llamamos x = edad del hermano menor. Entonces según las condiciones del problema:
x + 3 es la edad del hermano mediano
x +3 + 4 = x + 7 es la edad del hermano mayor
Como la suma de las edades de los hermanos es 40:
x + x +3 + x +7 = 40 Þ 3x =40 –10 =30
x =10
Por lo tanto: edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
8. ¿ A qué hora forman por primera vez un ángulo rcto las agujas de un reloj, a partir del mediodía.
Solución
Es un caso particular de problemas de móviles.
La velocidad del minutero es doce veces mayor que la del horario. Podemos pues representar por 12 y 1 las velocidades respectivas de las dos saetas.
Si x es el nº de divisiones que ha recorrido la aguja horaria, la minutaría formará con ella ángulo recto cuando haya recorrido x +15 divisiones
Al
igualar los tiempos empleados por ambas, se obtiene:
Þ 12x =x +15Þx
=15/11= 1minuto 21segundos
Se encuentran a las 12 horas 16 minutos 21 segundos
9. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?
Solución
Llamamos x a la edad del hijo. La del padre será x2
Dentro de 24 años el hijo tendrá x +24
Dentro de 24 años el padre tendrá x2 +24
Por lo tanto x2 +24 = 2(x +24) = 2x +48
La ecuación que resulta es de 2º grado.
x2- 2x –24=0
Por ser completa aplicamos la fórmula general:
Aunque da dos soluciones, sólo la primera x =6 es válida, x =-4 no nos vale pues las edades no pueden ser negativas.
Por tanto el hijo tiene 6 años y el padre 36 años
10. Para vallar una finca rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca. Calcular las dimensiones de la cerca.
Solución
Llamamos x a la base del rectángulo, e y la altura.
Como la superficie es el producto de la base por la altura, entonces x .y =750
El perímetro es la suma de los 4 lados:
2x +2y =110
Es decir tenemos el sistema 
De
la primera ecuación se tiene y =750/x
Sustituyendo en la segunda:
Þ 2x2+1500 =110 x Þ 2x2-110x +1500=0
De donde 
Nos da dos soluciones:
Si la base es x =30 Þ la altura es y = 750/30 =25
Si la base es x = 22,5 Þ la altura es y =750/22,5=100/3= 33,333..
Ambas válidas.
Problemas propuestos
1. Un gavilán se cruza en vuelo con lo que parece un centenar de palomas. Pero una de ellas lo saca de su error:
- No somos cien -le dice-. Si sumamos las que somos, más tantas como las que somos, más la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las que somos, en es caso, contigo, gavilán, seríamos cien.
¿Cuántas palomas había en la bandada?
2. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
3. Halla dos números positivos cuya suma es 20 y la suma de sus cuadrados 250.
4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?
5. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de los participantes. En la segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron los dos exámenes fue 36 ¿cuántas personas se presentaron a la oposición?
7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igual al cuádruplo del menor.
8. La base de un rectángulo es 10cm más larga que la altura. Su área mide 600m2. Calcular las dimensiones del rectángulo.
9. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?
10. El área de una lámina de plata es 48cm2, y su longitud es 4/3 de su anchura. Halla su longitud y su anchura.
11. Halla dos números cuya suma sea 24 y su producto 135.
12. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
13. Dos números son tales que el mayor menos la raíz cuadrada del menor es 22 y la suma de los números es 34. ¿Cuáles son los números.
14. Una caja mide 5cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es 1500cm3. Calcular la longitud y la anchura.
15. La diagonal de un rectángulo mide 26cm y el perímetro 68cm. Hallar los lados del rectángulo.
 |
|||
 |
|||
Cuaderno de actividades de 4º ESO