Ecuaciones y Sistemas[C1] 

Resolver una ecuación es encontrar todas su soluciones o llegar a la conclusión de que no tiene ninguna.

Ejemplo 1. a) x²-1=0 tiene dos soluciones, x =1 y x =-1

b) x² + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R.

 c) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2)....

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:

v     Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

v     Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

Trasposición de términos. Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas:

Ø      Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro miembro restando. Si esta restando pasará sumando.

Ø      De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés.

Esto se llama trasponer términos.

Ejemplo 2:  La ecuación   5x - 1 = 2x -3    se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.

Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.

Ecuaciones de primer grado

La forma general de esta ecuación es a x +b =0  con a0

Trasponiendo y dividiendo por a se llega  a  .

Solución que siempre existe y es única.

Ejemplo 3.  a) 3x +2 =0 Þ

b)  7x + 2 = 2x -3 , si  trasponemos términos, nos queda     7x –2x = -2 –3

Luego  5x = -5        de donde x = -1

Ecuaciones de segundo grado

La forma general de una ecuación de 2º grado es:     , donde a

La solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula:

Ejemplo 8. 

=

Observación. A  D = se llama discriminante de la ecuación de 2º  y se verifica:

Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas

Si D =0 la ecuación tiene una única solución (doble)

Si D <0 la ecuación no tiene ninguna solución real.  

Ecuaciones incompletas

• Si c =0 la ecuación se reduce a  y sacando factor común x se tiene:

 

x(ax +b) =0

Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones.

Ejemplo 4. 3x²-5x=0             x(3x-5)=0

• Si b =0 la ecuación queda   de donde

Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que el radicando sea o no positivo.

 

Ejemplo 5.  2 x²-=0;        2 x²=Þ                        (dos soluciones)

Ejemplo 6.  3x²+1 =0              (no tiene ninguna solución)

Resolución “práctica” de una ecuación

Lo estudiamos con un ejemplo

Ejemplo 7. 

Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden.

1º Quitar denominadores

Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.

Multiplicamos los dos miembros de la igualdad  por 6, que es el m.c.m. de los denominadores.

Nos queda                            3(2x-3) -2(5x-1) =6

2º Quitar paréntesis

Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva.

Quitando paréntesis            6x-9 –10x+2=6

3º Trasposición de términos

Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro.

Trasponiendo términos                     6x –10x =  9 - 2 + 6

4º Reducción de términos semejantes

De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término:

-4x = 13                                 

5º. Despejar la incógnita

Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)

                                                              

Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente.

Ecuaciones de primer grado

Resuelve

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 Solución.

 Multiplicamos los dos miembros por 8 (es el m .c. m. de los denominadores) 

(2x-4)² = 40 +4x(x +1)

4x² –16x +16 = 40 + 4x² +4x

4x² –16x +16 =40 +4x² +4x

Reduciendo términos semejantes:

16x-4x= 40- 16 -20x =24           = -1,2

6)

Ecuaciones de segundo grado

Resuelve las siguiente ecuaciones

1) –6x² +5x-1=0

2) (5x-4)(2x+3) =5

3) 30 + 9x – 3x² =0

5)

6)

7)

Aplicaciones de las ecuaciones de 2º grado

Ø      Ecuaciones bicuadradas

Ejemplo 8. La ecuación x⁴ – 5x² +6=0 es bicuadrada (es de 4º grado sin potencias impares).

Ejercicios

Resuelve:

1) x⁴ –3x²+2=0

2) x⁴-13x²+36=0

3) x⁴-1=0

5) x⁴-9x²=0

6) 3x⁴ –5x²+2=0

7) x⁴+ x²+1=0

8)

Ø      Resolución de ecuaciones irracionales.

Ejemplo 9.

Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

6)

 Solución.

Aislamos una de las raíces:      

Elevamos al cuadrado               (

Volvemos a aislar la raíz que nos queda

Elevamos al cuadrado

144(2x-1)=x² +62x+961

288x -144 = x² +62x +961

Es decir:

x² –226x +1105 =0

7)

 

Ecuaciones de grado superior a dos

Resolver las siguientes ecuaciones:

 

2) x⁴ –x³-16x²-20x = 0

3) x⁴-8x³+ 18x²-11x=0

4) x³-2x²-9x +18

5) x⁴-x³-11x²+ 9x+18=0

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado.

Ejemplo 10: es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas

Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución.

Hay tres métodos algebraicos para resolverlos:

ü      Sustitución

Ejemplo 11.

En la 2ª ecuación despejamos la y y la sustituimos en 1ª ecuación

Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las incógnitas es 1.

ü      Igualación

Ejemplo 12.  

Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de una de las incógnitas es igual en las dos ecuaciones.

Ejemplo 13.

Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar el valor de la otra incógnita. (Ver ejercicio resuelto).

Ø      4º Método: Resolución gráfica.

Se dibujan en los mismos ejes las dos rectas, el punto de corte es la solución del sistema.

Ejercicios

Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:

1)

 

2)

 

3)

 

4)

5)

 

Resolución gráfica

 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas. compruébalo analíticamente.

1)                                       

 

2)

Problemas de aplicación

1) Calcula dos número cuya suma sea 8 y su producto 12.

2) La suma de dos número es 65 y su diferencia 23. Halla los números

3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1. Halla dichos números.

 

Sistemas de ecuaciones de 2º grado

Son aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de 2º grado. Veremos con un ejemplo como proceder para obtener las soluciones

Ejemplo 14. Sea el sistema

También se pueden resolver gráficamente algunos sistemas de 2º grado

Ejercicios

Resuelve los siguientes sistemas y si es posible también gráficamente:

1)

Solución

En este caso se puede resolver gráficamente. Lo haremos por tanto gráficamente como ejemplo.

La gráfica de la primera es una recta, de ecuación explícita; y =4-2x,    que pasa por los puntos (0, 4) y (2, 0)

La gráfica de la segunda ecuación es una parábola.

El vértice está en el punto (0, 4) y dos puntos simétricos son los de corte con el eje de abscisas, (-2, 0) y (2, 0)

Las soluciones gráficas (0, 4) y (2, 0)

Comprobarlo resolviéndolo analíticamente.

2)

 

3)  

 

3)

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas,

Método de Gauss

Está basado en el de reducción. Consiste en, mediante transformaciones elementales, llegar a otro escalonado de más fácil resolución.

Ejemplo 15. Resuelve el sistema

Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y se la restamos a la segunda:

Permutamos las ecuaciones 2ª y 3ª:

Multiplicamos la 1ª ecuación por 5 y se la sumamos a la 2ª:

 

que es un sistema escalonado.

Hasta aquí es el método de Gauss, ya se ha conseguido un sistema escalonado ahora para resolverlo se procede:

z =-11, de donde 

4x = -46-14(-11)Þ x=54/2, la y la obtenemos sustituyendo estos dos valores en la ecuación 1ª ;

 y =-9-54+33, y=-30.

La solución es:        (54/2,-30,-11)

Ejercicios

Resuelve los siguientes sistemas

1.

 

2.

 

Estrategias para la resolución de Problemas.

Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases^[1]:

1ª. Comprender el problema.

Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:

¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la incógnita o incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son  insuficientes?.. .

2ª Concebir un plan.

Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.

De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares.

¿Conoces problemas relacionados con éste?

¿Podrías plantear el problema de forma diferente?

¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...

¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?

.................

Obtener finalmente un plan de solución.

Para nuestro caso:

Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.

3ª. Ejecutar el plan.

Resuelve el sistema por los métodos estudiados.

4ª. Examinar la solución obtenida.

Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.

Problemas resueltos

1. Dos poblaciones A y B distan 25km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4km/h. Simultáneamente sale de B hacia A otro peatón a 6km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse.

Solución

2. Para vallar una finca rectangular de 750m² se han utilizado 110m de cerca. Calcular las dimensiones de la cerca.

Solución

3. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

Solución

Sean:

hombres	x
mujeres	y
niños	z

Luego:

x + y + z = 20 

x + y  = 3z                     Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

x  = y + 1

Se resuelve por reducción:

Restamos a la 1º ecuación la 2ª

z =20-3z Þ 4z = 20 Þ z =5 , sustituyendo en la 2ª nos queda:

x +y =15 que junto con la 3ª forman un sistema de dos ecuaciones:

x –y =1

Sumando nos queda 2x = 16 Þ x =8  ,  y =7

Resuélvelo por el método de Gauss

Problemas propuestos

1. Un tendero invierte 125 € en la compra de una partida de manzanas. Desecha 20kg por defectuosas y vende el resto aumentando 0,40 € cada kilo sobre el precio de compra, por 147 €. ¿Cuántos kilos compró?

2. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?

3. Halla dos números positivos cuya suma es 20 y la suma de sus cuadrados 250.

4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?

5. Tres empresas aportan 2, 3 y 5 millones de euros para la comercialización de un nuevo avión. A los cinco años reparten beneficios correspondiendo a la tercera 189000 € más que a la segunda. ¿Cuál fue la cantidad repartida?

6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de los participantes. En la segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron los dos exámenes fue  36 ¿cuántas personas se presentaron a la oposición?

7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igual al cuádruple del menor.

8. La base de un rectángulo es 10cm más larga que la altura. Su área mide 600m². Calcular las dimensiones del rectángulo.

9. Dos números son tales que el mayor menos la raíz cuadrada del menor es 22 y la suma de los números es 34. ¿Cuáles son los números.

10. Una caja mide 5cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es 1500cm³. Calcular la longitud y la anchura.

15. La diagonal de un rectángulo mide 26cm y el perímetro 68cm. Hallar los lados del rectángulo.

 

16. Los lados de un triángulo ABC miden 2, 3 y 4 m, respectivamente. Hállense lo lado de otro triángulo A’B’C’ que es semejante al anterior y tiene 36m de perímetro.

 

17. Calcula las edades de un padre y de sus dos hijos, sabiendo que  entre los tres suman 99 años. Además se sabe que la edad del padre y la del hijo mayor difieren en 25 años, y que la suma de las edades de ambos hijos se diferencian en la edad el padre en 5 años.

 

Inecuaciones[2]

Para resolver las inecuaciones se utilizan las propiedades de las desigualdades:

1) si a ³ b y  b ³ c Þ  a  ³ c

2) si a ³ b Þ  a +c ³  b +c,   para todo c

3) si a ³ b,  y  c > 0  Þ      a. c ³ b. c

                  y  c < 0   Þ      a c £ b. c

 

A) Lineales con una incógnita

Son de la forma a. x + b £ 0 ( ³;  <, ó > )

Ejemplo 1. 3x -6 <0

Solución. 3x< 6 Þx<2

 

	2

 

Ejemplo 2.  -2x +3> 5

Solución.  -2x >5-3 =2 Þ -x>1 y x<-1

Haz una interpretación gráfica.                                                                        -1

Ejercicios. Resuelve las siguientes inecuaciones:

1. 3x - 1

 

2. 2x- 3 > 3x+1

 

B) Lineales con dos incógnitas

Una inecuación lineal con dos incógnitas es una desigualdad algebraica del tipo:

a x + by + c £ 0 ( ³;  <, ó > )

Sus soluciones serán los pares de números (x, y) que hagan cierta la desigualdad.

Ejemplo 3: 2x-5y <0

 (1,1) es una solución, (1,0) no lo es....

Ejemplo 1: La inecuación 2x-y > x-2y+4 es equivalente a x +y-4>0 , por tanto es lineal.

Representación gráfica del conjunto solución.

Proposición. Dada una inecuación equivalente a:

          a. x + by + c > 0   ó   a. x + by + c < 0

el conjunto solución es uno de los semiplanos cuya frontera es la recta:

               a. x + by + c =0 (la llamaremos recta auxiliar)

La inecuación puede escribirse para b¹ 0

 (1)                     (2)

y los puntos de la recta auxiliar verifican:

Los puntos del semiplano superior verifican (1) y los del inferior verifican (2) (la demostración es inmediata).                 

                                              

 

                                                                                                          (1)

                                                                       (2)

 

                                                          

Ejemplo 4: Resolver gráficamente la inecuación: 2x-5y <0

Solución

Consideramos la recta 2x-5y=0 y la representamos en el plano

                                                                                             

x	y
0	0
5	2

 

La recta divide al plano en dos semiplanos, en este caso, como la inecuación se puede escribir

y > , la solución es el semiplano superior.

Para señalar que no esta incluida la recta en el conjunto de las soluciones se ha dibujado ésta con trazo discontinuo. Si estuviera incluida se dibujaría con trazo continuo.

Ejercicios. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales

1. 3x +y<2

 

2. x –y +1

Sistemas de inecuaciones lineales.

*Un sistema de inecuaciones lineales es un conjunto de dos o más inecuacioness.

Resolver un sistema de inecuaciones es encontrar las soluciones comunes a todas ellas.

Con una incógnita

Ejemplo 5.

Resuelve el sistema

Solución.

Þ

No hay ninguna solución común, el sistema no tiene soluciones.

Ejercicios. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

1.

 

2.

Con dos incógnitas

Se utilizará la representación gráfica para dar el conjunto solución de un sistema de inecuaciones (con dos incógnitas), que será la intersección de los semiplanos. La región del plano que determinan dichas intersecciones se llama región factible.

Ejemplo 6. Resuelve el sistema

Solución.

 

La solución es donde se cruzan

 

	-1

 

 

 

 

 

Ejemplo 7

Representar gráficamente las soluciones del sistema:

 

y £ x + 1000

x + y £3000

    y ³1000

    x ³0

 

 

 

Ejercicios. Resuelve los siguientes sistemas:

1.

 

2.

 

3.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciones y sistemas:

2. 5^2x+1 = 1

 

3.

4.

 

5. 4^2x+1 = (0,5)^3x+5

 

7. 2^x-1 + 2^x + 2^x+1 = 7.

9. 4^x -3.2^x+1+8=0. Indicación: 4^x =2^2x

 

10. 4^x-5.2^x +4=0

 

11. 2^x-1 +4^x-3=5

 

12. 5^2x-30.5^x+125=0

 

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

2. ln (x²-5x+7)=0

 

4.log (3x+1)-log (2x-3)=1-log5

 

5. log_x(20x-4)-log_x25=2

6. 2logx =1+ log (x-)

 

SISTEMAS

 

 

 

 

 

Actividades propuestas

1. Encontrar x en cada una de las ecuaciones siguientes:

 

a) log_x 729 = 6

b)

 

c) 81^x = 9². 3^3x

 

d) 9^x - 6. 3^x+1 + 81 = 0

 

e) 5^1-x + 5^x = 6

 

f)  2.7^1-x + 7^x = 9

 

2. Calcula utilizando las propiedades de las funciones logarítmicas:

a) log  0’0001 

 

b)

 

c) log₂ 10 - log₂ 5

 

d) log₂

e) log₂

 

3. Resuelve:

a)

b)

c)

d)

 

e)

 

 

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