3º Parte: Ecuaciones y Sistemas

Igualdades, identidades, ecuaciones

Una igualdad, (=), es una relación de equivalencia^[1] entre dos expresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, alguno o todos los valores. Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro.

 

 

 

 

 

 

· Si la igualdad se cumple entre números se denomina identidad numérica.

Ejemplo 1: 2 +4  +5 = 1 +10

· Una identidad literal es una igualdad que se cumple para todos los valores.

Ejemplo 2: Las Identidades Notables

· Cuando la igualdad se convierte en identidad numérica sólo para determinados valores se la llama ecuación. A las letras se les llama indeterminadas o incógnitas.

Ejemplo 3:  a) 3x+2 =0  es una ecuación con una incógnita.;  b)3x +2y =1 es una ecuación con dos incógnitas.

Al valor, o valores, que convierten la ecuación en identidad numérica se les llama solución (o raíz) de la misma.

Ejemplo 4. Una solución de la ecuación del ejemplo 3 es x =-2/3 .

Ejercicio 1. Encuentra 2 soluciones de la ecuación 3x-2y-1=0

Resolver una ecuación en encontrar todas su soluciones o llegar a la conclusión de que no tiene ninguna.

Ejemplo 5. a) x²-1=0 tiene dos soluciones, x =1 y x =-1

b) x² + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R.

 c) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2)....

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:

      Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

      Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

Trasposición de términos. Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas:

      Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro miembro restando. Si esta restando pasará sumando.

      De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés.

Esto se llama trasponer términos.

Ejemplo 6:  La ecuación   5x - 1 = 2x -3    se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.

Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.

Ecuaciones de primer grado

La forma general de esta ecuación es a x +b =0  con a0

Trasponiendo y dividiendo por a se llega  a  .

Solución que siempre existe y es única.

Ejemplo 7.  a) 3x +2 =0 Þ

b)  7x + 2 = 2x -3 , si  trasponemos términos, nos queda     7x –2x = -2 –3

Luego  5x = -5    de donde x = -1

Ecuaciones de segundo grado

La forma general de una ecuación de 2º grado es:   , donde a

La solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula:

Ejemplo 8. 

=

Observación. A  D = se llama discriminante de la ecuación de 2º  y se verifica:

Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas

Si D =0 la ecuación tiene una única solución (doble)

Si D <0 la ecuación no tiene ninguna solución real.  

Ecuaciones incompletas

      Si c =0 la ecuación se reduce a  y sacando factor común x se tiene:

 

x(ax +b) =0

Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones.

Ejemplo 9. 3x²-5x=0     x(3x-5)=0

      Si b =0 la ecuación queda   de donde

Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que

El radicando sea o no positivo.

 

Ejemplo 10.  2 x²-=0;           2 x²=Þ                 (dos soluciones)

Ejemplo 11.  3x²+1 =0     (no tiene ninguna solución)

Resolución “práctica” de una ecuación

Lo estudiamos con un ejemplo

Ejemplo 12. 

Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden.

1º Quitar denominadores

Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.

Multiplicamos los dos miembros de la igualdad  por 6, que es el m.c.m. de los denominadores.

Nos queda                    3(2x-3) -2(5x-1) =6

2º Quitar paréntesis

Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva.

Quitando paréntesis       6x-9 –10x+2=6

3º Trasnposición de términos

Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro.

Trasponiendo términos             6x –10x =  9 - 2 + 6

4º Reducción de términos semejantes

De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término:

-4x = 13                                  

5º. Despejar la incógnita

Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)

                                              

Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente.

  Ecuaciones de primer grado

Resuelve

1)

2)

3)

4)

5)

7)

8)

10)

  Ecuaciones de segundo grado

Resuelve las siguiente ecuaciones indicando si son completas o no:

1) 3x²+ 2x=0

 

2) 5x²-3=0

 

3) x²-4x+2=0

 

4) 2x²+ x-1=0

 

6) –x²  + 4 =0

 

8) 4x² –4x +1 =0

 

9) –x² +6x-5=0

 

10) –6x² +5x-1=0

 

11) (5x-4)(2x+3) =5

 

12) 30 + 9x – 3x² =0

 

13)

14)

15)

 

16)

 

 

***[C1] Aplicaciones de las ecuaciones de 2º grado

      Descomposición en factores del trinomio de 2º grado.

Ejercicios

Determina los factores de los siguientes trinomios de 2º grado

1) x²-16

 

2) x²-13x+36

 

3) 4 -x²

 

4) 2x²+17+21

 

5) 2x²-5x+7

 

 

6) 3x²- 0,75

 

7) –x² +5x-6

 

 

      Resolución de ecuaciones irracionales.

Ejemplo 14.

Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 

7)

 

      Ecuaciones bicuadradas

Ejemplo 15. La ecuación x⁴ – 5x² +6=0 es bicuadrada (es de 4º grado sin potencias impares).

Ejercicios

Resuelve:

1) x⁴ –3x²+2

 

 

2) x⁴-13x²+36

 

 

3) x⁴-1

 

4) x⁴+ 4x² =0

 Solución.

Como es incompleta, .al igual que en las de segundo grado, sacamos factor común

x²(x² +4) =0que tiene sólo la solución (doble) x =0

5) x⁴-9x²=0

 

 

6) 3x⁴ –5x²+2=0

 

 

7) x⁴+ x²+1=0

 

8)

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.

Ejemplo 16:  es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas

Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución.

Hay tres métodos para resolverlos:

      Sustitución

Ejemplo 17.

En la 2ª ecuación despejamos la y y la sustituimos en 1ª ecuación

Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las incógnitas es 1.

      Igualación

Ejemplo 18.  

Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de una de las incógnitas es igual en las dos ecuaciones.

Ejemplo 19.

Observación. Este método es muy adecuado en todos los casos.

Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar el valor de la otra incógnita. (Ver ejercicio resuelto)

Ejercicios

Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:

1)

 

2)

 

 

3)

 

4)

 

5)

 

6)

 

8)

 

Problemas de aplicación

1) Calcula dos número cuya suma sea 8 y su producto 12.

 

2) La suma de dos número es 65 y su diferencia 23. Halla los números

 

3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1. Halla dichos números.

 

Sistemas de ecuaciones de 2º grado

Son aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de 2º grado. Veremos con un ejemplo como proceder para obtener las soluciones

Ejemplo 20. Sea el sistema

 

Ejercicios

Resuelve los siguientes sistemas:

1)

2)

3)

 

 

Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases^[2]:

1ª. Comprender el problema.

Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:

¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la incógnita o incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son  insuficientes?.. .

 

2ª Concebir un plan.

Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.

De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares.

¿Conoces problemas relacionados con éste?

¿Podrías plantear el problema de forma diferente?

¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...

¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?

.................

Obtener finalmente un plan de solución.

Para nuestro caso:

Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.

 

3ª. Ejecutar el plan.

Resuelve el sistema por los métodos estudiados.

 

4ª. Examinar la solución obtenida.

Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.

 

Ejemplo 21.. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?

Solución. Sólo en este problema indicaremos con detalle las 4 fases

1º. Comprender el problema.

Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas.

Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.

Ordenamos los elementos del problema:

 

	Hoy	dentro de 8 años
La madre	x	x + 8
La hija	y	y + 8

 

2º. Concebir un plan.

Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:

x = 27 + y

x + 8 = 2(y +8)

Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.  Lo resolveremos por el método de sustitución.

3º Ejecutar el plan.

x = 27 + y       

Entonces:

27 + y +8 = 2(y +8) de donde  35 -16 = y Þ y = 19,  x = 46

4º Examinar la solución obtenida .

La solución obtenida es factible por ser entera.

 

El método empleado se puede usar en problemas “similares”.

 

Problemas resueltos

1. La edad de una madre es siete veces la de su hija. La diferencia entre sus edades es de 24 años. ¿qué edad tienen?.

Solución

2. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.

Solución

3. Se atribuye a Pitágoras la siguiente respuesta sobre el número de sus discípulos:

- Una mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parte guarda silencio, y además hay tres mujeres.

¿Cuántos discípulos tenía?

Solución

4. Dos poblaciones A y B distan 25km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4km/h. Simultáneamente sale de B hacia A otro peatón a 6km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse.

Solución

 

5. En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?.

Solución

 

6. Había doble de leche en un envase que en otro. Cuando se extrajeron 15 litros de leche de ambos envases, entonces había tres veces mas leche en el primer envase que en el segundo. ¿Cuánta leche había originariamente en cada envase.

Solución.

7. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y éste 3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?

Solución

8. ¿ A qué hora forman por primera vez un ángulo rcto las agujas de un reloj, a partir del mediodía.

Solución

9. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

Solución

 

10. Para vallar una finca rectangular de 750m² se han utilizado 110m de cerca. Calcular las dimensiones de la cerca.

Solución

Problemas propuestos

1. Un gavilán se cruza en vuelo con lo que parece un centenar de palomas. Pero una de ellas lo saca de su error:

- No somos cien -le dice-. Si sumamos las que somos, más tantas como las que somos, más la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las que somos, en es caso, contigo, gavilán, seríamos cien.

¿Cuántas palomas había en la bandada?

2. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?

3. Halla dos números positivos cuya suma es 20 y la suma de sus cuadrados 250.

4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?

5. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.

6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de los participantes. En la segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron los dos exámenes fue  36 ¿cuántas personas se presentaron a la oposición?

7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igual al cuádruplo del menor.

8. La base de un rectángulo es 10cm más larga que la altura. Su área mide 600m². Calcular las dimensiones del rectángulo.

 

9. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?

10. El área de una lámina de plata es 48cm², y su longitud es 4/3 de su anchura. Halla su longitud y su anchura.

11. Halla dos números cuya suma sea 24 y su producto 135.

12. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.

13. Dos números son tales que el mayor menos la raíz cuadrada del menor es 22 y la suma de los números es 34. ¿Cuáles son los números.

14. Una caja mide 5cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es 1500cm³. Calcular la longitud y la anchura.

15. La diagonal de un rectángulo mide 26cm y el perímetro 68cm. Hallar los lados del rectángulo.

 

 

 

 

Cuaderno de actividades de 4º ESO