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Estadística Unidimensional

Conceptos básicos. Individuo, población, muestra.

Ejemplo 1. Para estudiar la evolución del cáncer de mama en la población femenina de un país, se puede considerar que individuo es cada una de las mujeres residentes en el mismo, población es el conjunto de todas ellas y una muestra se obtiene al observar el 1% del censo.

Con mucha frecuencia se consideran como población y muestra, no los conjuntos de individuos, sino las medidas de la característica asociadas a esos individuos.

Ejemplo 2. En un banco de sangre se experimenta un nuevo sistema para aumentar el período de conservación de la misma. En este caso cada bolsa de sangre es un individuo; la población es el conjunto de todas las bolsas del banco y una muestra se obtiene tomando un cierto número de bolsas para su análisis.

Obsérvese que el concepto de individuo no va asociado necesariamente con el de persona, sino que puede ser algo de naturaleza más abstracta.

Clasificación de los datos. Cualitativos y cuantitativos.

Ejemplo 3. Se observan las causas de muerte de 16 individuos de una cierta población, agrupándolas en las cuatro siguientes: enfermedades cardiovasculares (EC), cáncer (C), accidentes (A) y otras causas (O), habiéndose obtenido los siguientes datos:

EC, EC, A, C, O, A, EC, A, O, C, EC, C, O, C y EC.

Como los resultados no son medibles numéricamente, los datos son cualitativos.

Ejemplo 4. Las notas obtenidas en Matemáticas en una clase de 2º BACH han sido: 2, 7, 4, 6, 5, 0, 3, 9, 8, 4, 3, 6, 5 y 8.5.

Se trata de datos cuantitativos.

*A su vez los datos cuantitativos se denominan continuos si los resultados pueden tomar cualquier valor real dentro de un cierto intervalo, o discretos, si sólo pueden tomar ciertos valores particulares.

Ejemplo 5. Del estudio de la estatura de un cierto núcleo de población se han obtenido los siguientes datos:

1.62, 1.78, 1.75, 1.58, 1.83, 1.68 y 1.81metros.

Son datos continuos, pues los individuos de una población pueden tener como estatura cualquier número real en un cierto intervalo.

Ejemplo 6. Del alumbramiento de un conjunto de ratas se ha observado el número de crías, obteniéndose los siguientes valores numéricos:

5, 3, 1, 5, 3, 6, 4, 2, 5, 6, 3, 6, 5, 2, 6, 7 y 3.

Por no ser posibles números no naturales, es evidente que se trata de datos cuantitativos discretos.

Es decir los datos se clasifican:

Los datos pueden provenir del estudio de un sólo carácter o propiedad (caso unidimensional) o de varios simultáneamente (caso multidimensional).

Variables estadísticas. Frecuencias absolutas y relativas.

Definición 1. Se llama variable estadística a la aplicación que a cada modalidad le hace corresponder ese número, es decir su medida.

Ejemplo 7. En el ejemplo 6 la variable estadística toma los valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

La variable estadística será discreta cuando sólo pueda tomar un nº finito de valores y continua cuando pueda tomar todos los valores de un cierto intervalo.

Ejemplo 8. La variable estadística del ejemplo 5 es continua y discreta la del ejemplo 6.

Definición 2. Se llama frecuencia absoluta al número de individuos que toman un determinado valor de una variable estadística (o una modalidad de un atributo).

Para variables estadísticas (es decir, datos cuantitativos) puede definir:

Definición 3. Se llama frecuencia absoluta acumulada de un valor a la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o iguales que él.

Ejemplo 9. En el ejemplo 6 la frecuencia absoluta del 5 (tener 5 crías) es 4. La frecuencia absoluta acumulada del 2 es 3.

Definición 4. Se llama frecuencia relativa a la razón entre la frecuencia absoluta y el número total de datos o tamaño de la población.

Definición 5. Se llama frecuencia relativa acumulada de un valor de una variable estadística a la suma de las frecuencias relativas de todos los valores menores o iguales que él.

Ejemplo 10. La frecuencia relativa del 5 es 4/17 y la relativa acumulada del 2 es 3/17.

Representación de datos: Tablas.

Ejemplo 11. Las notas de los 20 alumnos de una clase son:

4, 3, 3, 5, 6, 7, 9, 0, 5, 4, 9, 10, 2, 7, 2, 2, 5, 6, 5, 0

Vamos a calcular una tabla de frecuencias:

Variable	Frecuencias	absolutas	Frecuencias relativas
estadística xi	puntuales ni	Acumuladas Ni	puntuales fi	acumuladas Fi
0 2 3 4 5 7 9	2 3 2 2 5 3 3	2 5 7 9 14 17 20	1/10 3/20 1/10 1/10 1/4 3/20 3/20	1/10 5/20=1/4 7/20 9/20 14/20=7/10 17/20 20/20=1

Ejercicio 1. En un Instituto hay matriculados 2200 alumnos que se distribuyen por edades en la forma siguiente: 215 de 14 años, 437 de 15, 421 de 16, 396 de 17, 512 de 18, 124 de 19 y 95 de 20. Formar la tabla de distribución y de frecuencias, que incluya frecuencias acumuladas.

Ejemplo 12. Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla:

intervalos	mi	f. absoluta puntual	f. absoluta acumulada	f. relativa puntual	f. relativa acumulada
[0, 10) [10, 20) [20. 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80)	5 15 25 35 45 55 65 75	40 60 75 90 105 85 80 65	40 100 175 265 370 455 535 600	1/15 1/10 1/8 3/20 7/40 17/120 2/15 13/120	1/15 1/6 7/24 53/120 37/60 91/120 107/120 1
		600		1

Ejemplo 13. En una Caja de Reclutamiento se toma una muestra de tamaño 30 de los pesos de los mozos correspondientes a un cierto reemplazo, obteniéndose los siguientes datos medidos en kg:

71.9, 63.9, 62.3, 72.5, 78.0, 70.7, 71.4, 60.5, 60.9, 68.2, 88.5, 76.1, 82.1, 63.7, 79.8, 67.5, 50.1, 69.5, 66.1, 47.3, 72.1, 59.8, 93.7, 80.7, 61.2, 64.3, 53.7, 74.7, 96.3, 73.2.

Construir una tabla de frecuencias agrupando los datos en clases de la misma amplitud.

Solución

Si bien no es estrictamente necesario, en general, es conveniente ordenar los datos de menor a mayor. A continuación se presenta la misma muestra ordenada:

47.3, 50.1, 53.7, 59.8, 60.5, 60.9, 61.2, 62.3, 63.7, 63.9, 64.3, 66.1, 67.5, 68.2, 69.5, 70.7, 71.4, 71.9, 72.1, 72.5, 73.2, 74.7, 76.1, 78.0, 79.8, 80.7, 82.1, 88.5, 93.7, 96.3.

Como los valores extremos son 47.3 y 96.3 y el número de clases aconsejado para estos datos es 6 (aplicando la fórmula de Sturges), tomaremos 6 intervalos de amplitud 10, la tabla queda estructurada de la siguiente manera:

clases	Marcas de clase	frecuencias absolutas de clase ½acumuladas		Frecuencias relativas de clase ½acumuladas
45 -55 55 -65 65 -75 75 -85 85 -95 95 -105	50 60 70 80 90 100	3 8 11 5 2 1	3 11 22 27 29 30	0.1 0.266 0.366 0.166 0.066 0.033	0.1 0.366 0.733 0.900 0.966 1

30 0.997»1

Intervalos no solapados.

Si los datos recogidos están ya agrupados en intervalos no solapados, como por ejemplo:

Intervalo	ni
120-139 140-149 150-159 160-169	32 37 23 19

Es conveniente tomar unos intervalos que contengan a éstos, pero sin modificar las frecuencias. Esto es:

Intervalo	ni
[119,5-139,5) [139,5-149,5) [149,5-159,5) [159,5-169,5)	32 37 23 19

Estos nuevos valores se llaman límites reales de la clase.

Ejercicio 2. El número de personas que viven en cada uno de los portales de una gran barriada es:: 63, 58, 70, 47, 120, 76, 80, 59, 80, 70, 63, 77, 104, 97, 78, 90, 112, 88, 67, 58, 87, 94, 100, 74, 55, 80, 75, 49, 98, 67, 84, 73, 95, 121, 58, 71, 66, 87, 76, 56, 77, 82, 93, 102, 56, 46, 78, 67, 65, 95, 69, 90, 58, 76, 54, 76, 98, 49, 87, 69, 80, 64, 65, 56, 69, 68, 99, 106.

Construye una tabla de frecuencias^[1].

Series cronológicas

Se Llaman series cronológicas a unas tablas estadísticas que recogen observaciones hechas a lo largo del tiempo, normalmente a intervalos iguales. Es por tanto una serie estadística en que la variable independiente es el tiempo.

Ejemplo 14. El número de médicos colegiados en España en el período de 1984 - 1992:

1984	1985	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992
99730	107503	119890	123543	129897	138967	147978	152943	156748

Ejercicio 3. La producción editorial española de libros de sociología y Estadística, en los años que se indica es:

Años	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
nº	345	487	589	376	479	652	741

Hacer una tabla de frecuencias absolutas y relativas puntuales. Expresar la relativa en porcentajes.

Representación de datos: Gráficos.

Variables cualitativas. Los más usados son los diagramas de rectángulos (o de barras) y los de sectores.

Ejercicio 4. El censo, en miles de cabezas, del ganado en el territorio español, en 1994 fue:

Ganado	Número de cabezas
Bovino Ovino Caprino Porcino Caballar Mular Asnar	5300 18047 2601 12308 264 153 164

Dibujar un diagrama de sectores y otro de rectángulos.

Variables cuantitativas. Distinguiremos entre variable discreta o continua.

Tratamiento individual

Para el tratamiento individual los medios de representación más utilizados son el gráfico (o diagrama) de barras, el polígono de frecuencias y los gráficos acumulativos.

Diagrama de barras:

Ejemplo 15. Vamos a hacer un diagrama de barras de frecuencias absolutas para el ejemplo 6.

En ocasiones se superponen dos o más diagramas para comparar datos:

Ejemplo 16: Producción y venta de automóviles en España:

Polígono de frecuencias: Se usa sobre todo para frecuencias acumuladas (figura 1). También para series cronológicas.

Ejercicio 5. La esperanza de vida al nacimiento ha evolucionado desde 1900, como se refleja en la tabla siguiente:

Años	1900	1910	1920	1930	1940	1950	1960	1970	1980
Varones	33,9	40,9	40,3	48,3	47,1	59,8	67,4	69,6	72,6
Mujeres	35,7	42,6	42,1	51,6	53,2	64,3	72,2	75,1	78,6

Dibujar los polígonos de frecuencias superpuestos para poder compararlos.

Gráficos acumulativos:

Ejemplo 16. Gráfico de barras acumulativo

Tratamiento por clases

Cuando las variables son continuas, o discretas agrupadas, los gráficos que más se utilizan son: el histograma de frecuencias y los polígonos de frecuencias (absolutas o relativas)

Histogramas de frecuencias. Sobre el eje de abscisas se marcan los extremos de las sucesivas clases y con base en cada clase se dibuja un rectángulo de altura proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) observada en dicha clase^[2].

Figura 2

Ejercicio 6. En la siguiente tabla se presenta la distribución por edades del número de muertes registradas en España (datos hasta el 30-9-94) a causa del SIDA.

Edad en años	<3	3-9	10-12	13-14	15-19	20-24	25-29	30-34	35-39	40-49	50-59	60-69
Nº de muertes	411	171	35	31	247	2888	8576	7640	3292	2552	909	544

a) Construye la tabla de frecuencias relativas agrupando los datos en las siguientes categorías de edad: 0-9, 10-19, 20-29, 30-39, 40-49, 50-59 y 60-69 años.

b) Representa gráficamente la información obtenida en el apartado a) mediante un histograma.

Polígono de frecuencias. Se asocia a cada clase un punto del plano cartesiano, de abscisa el valor de la marca de clase y de ordenada la frecuencia observada en dicha clase. Uniendo los puntos resulta una línea quebrada que se denomina polígono de frecuencias (figura 3)

3 4 5 6 7

Figura 3

30

20

10

Polígono de frecuencias acumuladas.

Partiendo del valor cero en el extremo izquierdo de la primera clase, el polígono acumulado va tomando en los sucesivos extremos derechos de las clases un valor igual a la frecuencia acumulada. Uniendo los puntos así obtenidos resulta el polígono acumulativo de frecuencias (figura 4).

Figura 4

Ejercicio 7. Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican, por altura, según la tabla siguiente:

Altura	1,70-175	1,75-1,80	1,80-185	185-190	1,90-1,95	1,95-2,00
Nº de jugadores	1	3	4	8	5	2

Dibujar el polígono de frecuencias absolutas acumulativo.

Parámetros estadísticos.

¨ Medidas de centralización: media, moda y mediana

¨ Medidas de dispersión: rango o recorrido, desviación media, varianza, desviación típica, coeficientes de Pearson.

¨ Medidas de posición: cuartiles, deciles, centiles o percentiles. Señalan la situación de algunos valores importantes de la distribución.

¨ Medidas de asimetría, para señalar si la distribución está sesgada hacia uno u otro lado.

¨ Medidas de apuntamiento o curtosis que indican si la distribución es más o menos puntiaguda.

Cálculo de los parámetros estadísticos

Para el cálculo práctico de muchos parámetros estadísticos se utilizan tablas que facilitan dichos cálculos. Utilizaremos dos tipos de tablas que llamamos Tabla I y Tabla II:

TABLA 1

ni

ni

.....

TABLA 2

ni

ni

.....

MEDIA ARITMÉTICA

Es el valor

Si se trabaja con datos agrupados para la fórmula an-terior, [1], se toma x_i igual a las marcas de clase.

MODA^[3] M_o

Es el valor de la variable de mayor frecuencia.

La distribución puede tener varias modas

Para el caso continuo se habla del intervalo modal (el de mayor frecuencia n_i).

Cálculo de la moda⁸

Para calcular la moda, para datos agrupados, se puede usar la fórmula

[2] (c es la ampitud de la clase modal)

·

n_i

c

n_i+1

n_i-1

Mediana M_e L_i M_o

Es el valor que ocupa el lugar central

Cálculo de la mediana

Si la distribución tiene un nº impar de datos siempre existe una única mediana y es precisamente el valor central en la relación ordenada de menor a mayor. Si el nº de datos es par se toma como mediana la media de los valores centrales

Para hallar la mediana, cuando los datos estén agrupados, se puede usar el polígono de frecuencias acumuladas (Figura 1)y buscar la abscisa que corresponde a y = N/2 (por interpolación lineal).

Figura 2

N/2

L_i M_e

La fórmula anterior [3], nos da dicho valor. En ella:

N_i-1 es la frecuencia absoluta acumulada hasta llegar a la clase mediana, n_i la frecuencia absoluta de la clase mediana, L_i el límite inferior de la clase mediana y c la amplitud de dicha clase.

Cuantiles

Se llama cuantil de orden a de una distribución al valor de la variable que deja por debajo de él al a % de los elementos de la población.

Los que más se usan son los cuartiles y los centiles o percentiles.

La mediana coincide con el cuartil segundo Q₂.

Los cuartiles y centiles se calculan de forma análoga a la me diana (usando el polígono de frecuencias acumulativo, y por interpolación lineal, que nos da la fórmula)

RANGO

También llamado recorrido, es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.

Cálculo del rango.

Para el caso continuo, se toma la diferencia máxima posible entre los límites de intervalos

DESVIACIÓN MEDIA

Es la media de las desvia-ciones respecto de la media.

Cálculo de la desviación media⁹

Como la suma de las desviaciones respecto de la media da cero lo que se toma son las diferencias en valor absoluto.

La fómula es:

VARIANZA

Se define como la media de las desviaciones cuadráticas respecto de la media.

DESVIACIÓN TÍPICA

Se define como la ráiz cua-drada de la varianza:

.

Propiedades

1. Si se suma una constante a todos los valores de la variable la desviación típica no varía.

2. Si se multiplican todos los valores de la variable por el mismo número, la desviación típica queda multiplicada por el mismo número

3. Se verifica que

fórmula que simplifica su cálculo.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON

Es la razón entre la desviación típica y la media.

No debe usarse para valores muy próximos a cero de la media.

Se utiliza para eliminar la influencia de las unidades en el valor de la dispersión y mide la dispersión relativa de la muestra..

Por definición se calcula mediante la fórmula:

TIPIFICACIÓN

Para comparar dos series datos estadísticos se normaliza (o tipifica) la variable

Si X es una variable estadística la variable normalizada es:

,

Se dice que se ha tipificado la variable.

Coeficientes de asimetría y curtosis

Sirven para medir la “simetría” y el “apuntamiento” de las series estadídticas

Si el coeficiente de asimetría es:>0 la curva es sesgada a la derecha, y sí es<0, sesgada a la iizquierda

Cálculo de los coeficientes de asimetría y apuntamiento.

El coeficiente directo de asimetría se define así:

:

El de apuntamiento :

Observación. Cuando se trabaja con datos agrupados se toma x_i igual a la marca de clase.

Ejemplo 17. Construir la tabla 1 con los datos del ejemplo 11

xi	ni			ni		ni
0 2 3 4 5 7 9	2 3 2 2 5 3 3	0 6 6 8 25 21 27	4,65 2,65 1,65 0,65 0,35 2,35 4,35	9,30 7,95 3,30 1,30 1,75 7,05 13,05	21,62 7,02 2,72 0,42 0,12 5,52 18,92	43,24 21,06 5,44 0,84 0,60 16,56 56,76

20 93 la media es 93/20=4,65

Ejemplo 18. Construir la tabla 2 con los datos del ejemplo 13.

clases	Marcas de clase xi	frecuencia ni			ni
45 -55 55 -65 65 -75 75 -85 85 -95 95 -105	50 60 70 80 90 100	3 8 11 5 2 1	150 480 770 400 180 100	2500 3600 4900 6400 8100 10000	7500 28800 53900 32000 16200 10000

Ejemplo 19. a) Hallar la media y la varianza de la variable cuyos valores y frecuencias absolutas vienen dadas en la tabla adjunta

Valores de la variable	3	5	4	2	0	8	7
frecuencias	1	3	4	1	3	1	2

b) Representar gráficamente los datos en un diagrama de barras.

Solución a) Usamos la tabla II

0 2 3 4 5 7 8	3 1 1 4 3 2 1	0 2 3 16 15 14 8	0 4 9 16 25 49 64	0 4 9 64 75 98 64
	15	58		314

Se tiene : (Ver fórmulas) = 5,96 b)

Ejercicio 8. Los pacientes que acuden a una consulta médica se distribuyen, según la edad, en una tabla:

X(edad)	[0, 10)	[10, 20)	[20,30)	[30, 40)	[40, 50)	[50,60)
N (frecuencia)	7	10	30	18	12	3

Se pide:

a) El histograma de frecuencias.

b) La media, desviación típica, mediana y moda.

c) Porcentaje de pacientes menores de 40 años que acuden a la consulta.

Ejemplo 20. a) Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde f, F y f_r representan, respectivamente, la frecuencia absoluta, acumulada y relativa:

x	f	F	fr
1	4		0,08
2	4
3		16	0,16
4	7		0,14
5	5	28
6		38
7	7	45
8

b) Calcula la media, mediana y moda de esta distribución

Solución

a) La frecuencia relativa de 1 es 0,08 = ,, de donde N = 50, lo que nos permite completar la tabla.

x	f	F	fr
1	4	4	0,08
2	4	8	0,08
3	8	16	0,16
4	7	23	0,14
5	5	28	0,10
6	10	38	0,20
7	7	45	0,14
8	5	50	0,10

b) la media x = 4,76; la mediana es 5 y la moda es 6.

Ejemplo 21. Se considera una distribución de datos agrupados en intervalos cuyo polígono de frecuencias acumuladas es el de la figura

20

14

9

3

20 40 60 80 100

Calcula:

a) Tabla de distribución de frecuencias acumuladas.

b) la media.

Solución

a)

xi	ni	Ni
20 40 60 80 100	3 6 5 0 6	3 9 14 14 20

b) .

Ejercicio 9. En la fabricación de un cierto tipo de clavos, aparecen un cierto nº de ellos defectuosos. Se han estudiado 200 lotes de 500 clavos cada uno obteniendo:

Clavos defectuosos	1	2	3	4	5	6	7	8
nº de lotes	5	15	38	42	49	32	17	2

a)Calcular la mediana y la desviación típica.

b) Dibuja un diagrama de barras

Ejemplo 22. Observados los alquileres de un conjunto de despachos se ha obtenido:

Alquileres en miles de pesetas	ni
[0,15)	17
[15,30)	130
[30,45)	180
[45,60)	30
[60,75)	10
[75,90)	5

Calcula la moda y la mediana.

Solución:

Como los datos son agrupados tenemos: para la moda la fórmula:

m₀ = = 30 +

Para la mediana usamos el polígono acumulativo de frecuencias

xi	ni	Ni
[0,15)	17	17
[15,30)	130	147
[30,45)	180	327
[45,60)	30	357
[60,75)	10	367
[75,90)	5	372

Por interpolación lineal se llega a: 186-147= , de donde: m_e =33,25. Comprobar aplicando la fórmula [2]

Ejemplo 23. De dos muestras la primera con media 30 y desviación típica 4 y la segunda de media 50 y desviación típica 5, ¿cuál es la que aparece más dispersa?

Solución

Calculamos el coeficiente de variación de Pearson^[4], C_p = de ambas:

4/30 = 0,13 y 5/50 = 0,1, luego es más dispersa la primera.

*En la ordenación que se hizo para la mediana se llaman cuartiles primero, segundo y tercero a los que superan exactamente al 25%, 50% y 75% de los valores.

El segundo cuartil es la mediana. Para su obtención se usan los diagramas de cajas

Ejemplo 24. Representa mediante un diagrama de cajas las siguientes calificaciones de 20 alumnos.

0, 2, 3, ,3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5,, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 8 9

Como es múltiplo de 4, 20:4 = 5, Q1. Me y Q3. , serán los valores que hay entre el 5º y 6º , 10º y 11º, 15º y 16º, es decir:

Q₁= 3,5, M_e =5 y Q₃ =7

Ejercicio 10. Los pesos de un grupo de alumnos de 2º Bach son:

63, 58, 70, 57, 56, 76, 80, 59, 80, 70, 63, 77, 84, 77, 78, 90, 72, 88, 67, 58, 87, 94, 80, 74, 55, 80, 75,

59, 81, 67, 84, 73, 65, 71, 58, 71, 66, 87, 76, 56, 77, 82, 73, 67, 56, 46, 78, 67, 65, 65, 69, 80, 58, 76, 54, 76,

78, 49, 87, 69, 80, 64, 65, 56, 69, 68, 69, 64.

Representa la distribución mediante un diagrama de caja.

*Ejemplo 25. En el estudio de un cierto fenómeno se obtiene la siguiente tabla:

xi	7	10	12	16	19	20	21
ni	6	7	16	17	22	19	17

Calcula los cuartiles Q₁ y Q₃ correspondiente..Haz un diagrama de caja.

Solución

xi	ni	Ni
7 10 12 16 19 20 21	6 7 16 17 22 19 17	6 13 29 46 68 87 104

Se tiene: , y , que corresponde al dato 12; 3.26=78, correspondiente al dato 20. Luego: Q₁=12, Q₃=20

Ejemplo 26. En la fabricación de un cierto tipo de clavos, aparecen un cierto nº de ellos defectuosos. Se han estudiado 200 lotes de 500 clavos cada uno obteniendo:

Clavos defectuosos	1	2	3	4	5	6	7	8
nº de lotes	5	15	38	42	49	32	17	2

Calcular la mediana y el percentil 20.

Solución:

Se construye la tabla estadística con las columnas de las frecuencias absolutas acumuladas, siendo ésta

:

Nº de piezas	Nº de lotes (fa)	uar. Absoluta acumulada.
1 2 3 4 5 6 7 8	5 15 38 42 49 32 17 2	5 20 58 100 149 181 198 200

200

Como es par la distribución la mediana es la media de los valores centrales

Los valores centrales son 4 y 5, por tanto la mediana es 4,5.

El percentil 20

Está comprendido entre las frecuencias 20 y 58 luego P₂₀ = 3

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[1] Aunque la variable es discreta conviene agruparlos en clases ya que hay un número muy grande de datos.

[2] Cuando se trabaja con clases de amplitudes diferentes es más adecuado el histograma de frecuencias relativas por unidad de amplitud: En abscisas se marcan los extremos de las sucesivas clases y con base en cada una de ellas se dibuja un rectángulo de área proporcional a la frecuencia relativa.

[3] Veremos en los ejercicios resueltos cómo se asigna un valor.

[4] Mide la dispersión relativa,