Como muestra
incluyo aquí un artículo que publicó hace mas de 20 años, pero que sigue siendo
actual.
Si te interesa te recomiendo que visites
“Algunos aspectos
insólitos de la actividad matemática”
Miguel de
Guzmán
(1936-2004)
Indice
Filosofía y matemáticas
Matematización
del pensamiento
Matemática
como modelo del pensamiento
Matemática
y estética
La
belleza matemática
Creatividad matemática
Matemática como instrumento de exploración
Aplicabilidad
de la matemática
La
matemática como juego
La
matemática, aventura del pensamiento
Filosofía y matemática
En muchas de las etapas más
importantes de la filosofía, el pensamiento matemático ha sido considerado como
modelo de conocimiento. La tendencia es bien patente en los pitagóricos, para
quienes la misma constitución ontológica del universo es número y armonía. Así
se expresa solemnemente Filolao en el siglo V a. C.: "Grande, todopoderosa,
todoperfeccionadora y divina es la fuerza del número, comienzo y regidor de la
vida divina y humana, participante en todo. Sin el número todo carece de fronteras
y es confuso y oscuro. Porque la naturaleza del número proporciona conocimiento
y es guía y maestra para todos en todo lo que es dudoso o desconocido. Porque
nada de las cosas nos sería claro ni en su mismo ser ni en sus relaciones
mutuas si no existiera el número y su esencia. Este es quien armoniza en el
alma las cosas con su percepción, haciéndolas cognoscibles y congruentes unas
con otras según su naturaleza, proporcionándoles corporeidad" (Diels, B. 1
l).
Tras las fórmulas concisas que nos han llegado de los pitagóricos
que, interpretadas al pie de la letra, pueden resultar un tanto estrafalarias,
urge explicitar ese respeto y veneración por la forma y cuantificación,
extraordinariamente modernos, que siguen siendo valederos para la ciencia
actual. Esta actitud pitagórica ha perdurado a lo largo de la historia del
pensamiento con notable firmeza. Platón es el intérprete, al mismo tiempo
transmisor y purificador, del pensamiento pitagórico. Cuando el alma se queda a
solas (aute kaz' auten) ante el mundo inteligible (kosmos noetos) y
trata de conocer el ser de las cosas, debe descomponer cada una de las ideas en
sus elementos. Así llega a los elementos más simples (atomon eidos) .
Clasificada de esta manera, la idea compleja tiene una determinada clave
numérica. Esta es la traducción platónica de la expresión más ontológica de los
pitagórícos. El pitagorismo renace en el neopitagorismo del siglo I a. C. y en
el neoplatonismo de los siglos III al VI p. C. Macrobio, entre los romanos, con
su Comentario al sueño de Escipión, es uno de los transmisores de la
Edad Media de esta corriente del pensamiento.
Por su parte Descartes,
a fin de avalar las afirmaciones del Discurso sobre el método, escoge
una parcela del conocimiento privilegiada en que sus principios puedan aparecer
más claramente ejemplificados. Esta es precisamente la geometría, junto con la
dióptrica. La matemática, para él, constituye "un modo de habituar el
espíritu a nutrirse con verdades y no contentarse con falsas razones".
Matematización del
pensamiento
La matematización del pensamiento como
camino científico es hoy un dogma, a veces llevado a extremos ridículos, de la
ciencia moderna. Kant llega a afirmar que "en cada una de las disciplinas
de la naturaleza solamente se puede encontrar tanto de auténtica ciencia cuanto
se encuentra en ella de matemática" (Metaphysische Anfangsgründe der
Naturwissenschaft. Vorrede). Y la tendencia de todas las parcelas
del conocimiento a fin de aumentar su credibilidad y su prestigio ha sido en
los últimos tiempos, y sigue siendo, hacia el revestimiento, natural o forzado,
de estructuras matemáticas.
Puede uno preguntarse:
¿Merece la matemática este lugar privilegiado que se le ha atribuido de una
forma tan constante? No han faltado filósofos que han considerado injustificada
y aun nociva esta influencia invasiva del pensamiento matemático. Heidegger,
con un juego de palabras, ha tratado de expresar la cuestión: la matemática
"ist nicht strenger, sondern nur enger" (no es más
exacta, sino sólo más estrecha). Y no sin cierta razón. El conocimiento humano
contiene muchas más riquezas que las que el pensamiento matemático puede
abarcar. Existen realidades profundas que el hombre, más o menos
conscientemente, ansía aprehender cognoscitivamente que escapan a la
matemática. Esta llega fundamentalmente a dominar la componente raciocinante
del pensamiento sin tocar siquiera otras facetas del conocimiento intelectual.
Desde el conocimiento matemático al conocimiento personal, que involucra a todo
el hombre, existe ciertamente un abismo. El matemático y filósofo B. Pascal ha
expresado así en sus Pensamientos la diferencia entre el espíritu
matemático (esprit de géométrie) y el espíritu de discreción (esprit
de finesse): "En el primero los principios son obvios pero alejados
del uso común, de modo que cuesta girar la cabeza hacia este lado por falta de
hábito. Pero por poco que se la vuelva se ven estos principios plenamente y
sería necesario tener el espíritu totalmente falseado para razonar mal sobre
principios tan toscos que es casi imposible que se escapen. Pero en el espíritu
de discreción los principios son de uso común y están ante los ojos de todo el
mundo. No hay que girar la cabeza ni hacerse violencia. No hay más que tener
buena vista, pero es necesario tenerla buena, pues los principios son tan finos
y numerosos que es casi imposible que no se nos escapen. Ahora bien, la omisión
de un principio conduce a error. Por tanto es preciso tener la vista bien
limpia para verlos todos y además un espíritu bien sano para no razonar
falsamente sobre estos principios conocidos".
Y con todo, el pensar
matemático merece un lugar privilegiado en el conocimiento por razón de su
adecuación a su propio objeto, su evidencia y su certeza. No se trata de pensar
con Leibniz que haya de venir el día en que dos filósofos de opiniones encontradas,
en lugar de discutir sobre ellas, se sienten y digan: "Calculemos".
Pero sí se puede afirmar que la matemática es un intento de creación de un
universo para la satisfacción del ansia de conocimiento del hombre, hecho por
éste a la medida de su propia mente. Intento no del todo logrado, pues, como veremos
más adelante, este universo no carece de grietas
inquietantes. Esto lo hace de nuevo más cercano a la frágil condición de
hombre, "esa caña pensante", como lo definió el mismo Pascal. Se diría
que su seguridad le viene a la matemática de su carácter fundamentalmente
tautológico, pero también es verdad que las tautologías que constituyen la rica
estructura matemática representan un triunfo lleno de belleza y útiles
implicaciones sobre el carácter reptante del raciocinio humano.
Matemática como modelo
de pensamiento
La perfección del
pensamiento matemático ha llevado a considerarlo en muchas etapas de la
historia de la humanidad como instrumento de comunión con la divinidad y con
las fuerzas ocultas del mundo. Muchos de los monumentos megalíticos y ciclópeos,
las pirámides de los egipcios, algunas de las construcciones de ciertas
culturas precolombinas, la astrología de la antigüedad y de los tiempos
modernos conservan entreverados elementos matemáticos. Los pitagóricos hicieron
del cultivo a las matemáticas una secta religiosa con sus ritos y sus secretos.
En la Biblia abundan los elementos numéricos con significados ocultos y la
Cábala está plagada de ellos. En este aspecto ocupa un lugar importante el Ars
magna et ultima de nuestro Ramón Llull (1235-1315), un sistema de conceptos
y proposiciones primitivas que, por manipulación mecánica, darían lugar a todas
las ciencias particulares, incluida la teología. Con ella se adelantó en varios
siglos a la Characteristica universalis de Leibniz, que en su intento se
confiesa inspirado por la obra de Llull. Entre los matemáticos más famosos no
han faltado quienes han cultivado seriamente estos aspectos cuasimísticos de la
matemática. En su Harmonice Mundi (1619), donde Kepler escribe su tercera
ley sobre el movimiento de los planetas (el cubo de los ejes es proporcional al
cuadrado de los períodos), se describen las relaciones armónicas matemáticas y
musicales entre los planetas a través de las cuales Dios se da a conocer al
oído espiritual de los hombres. Incluso Newton dedicó una buena parte de su
energía a desvelar los misterios de la astrología de su tiempo, una faceta poco
conocida de uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos.
¿De dónde le viene a la
matemática su carácter modélico? Su constitución puramente formal, sistema de
postulados y leyes de inferencia con los que se van obteniendo los teoremas, la
hace en cierto modo independiente de toda otra realidad que no sea la mente en
su calidad raciocinante. De ahí su carácter incontrovertible y universal frente
a opiniones, modas y progresos. Decimos "en cierto modo
independiente", pues la elección de postulados e incluso de las leyes de
inferencia es un acto que depende de la voluntad del matemático y de las
convenciones de la comunidad matemática del momento. B. Russell ha dicho,
aludiendo al carácter formal de la matemática, que se trata de "una
ciencia en la que no sabemos de qué hablamos ni si lo que decimos es verdad o
no". Pero esto es una verdad a medias. Lo que así se describe no es la matemática.
Es solamente la estructura de su andamiaje lógico. La matemática nació como
ciencia y sigue siéndolo y, por tanto, trata en sus desarrollos de desvelar y dominar
alguna porción del mundo real, interior o exterior al hombre. Por eso no es un
mero arbitrario juego lógico. Sus postulados y sus leyes de inferencia están
fuertemente inspirados en una fracción de la realidad. Es de aquí de donde le
viene a la matemática su complejidad y su riqueza, reflejos de la riqueza y
complejidad del mundo real mismo. El misterio de la adecuación de ese mundo
matemático, tan propio de la mente que ha surgido de ella y de una mirada suya
al universo, con la realidad externa es algo que no ha dejado de maravillar a
los científicos de todos los tiempos. Este aspecto, origen de la aplicabilidad
de las matemáticas, será considerado más adelante. También tendremos que
considerar las serias limitaciones que en la estructura de la matemática han
hecho patente los modernos progresos de la lógica reciente.
Pese a todo ello podemos
afirmar que existen razones poderosas para considerar el conocimiento
matemático como modelo de conocimiento científico, ya que ningún otro tipo de
ciencia alcanza su objetivo propio con tanta eficacia, evidencia y certeza como
lo logra el método matemático.
La afirmación de la naturaleza artística de la matemática
puede sonar extraña en muchos oídos. Si arte es la producción por parte del hombre
de un objeto bello, espero que esta afirmación resulte justificada al término
de las notas que siguen. Desde que se empezó a analizar lo que es arte y
belleza aparece explícita esta aseveración. Para los pitagóricos, la armonía,
uno de los ingredientes de la belleza, va unida al número en la constitución
ontológica de todo el universo. Aristóteles mismo se expresa así en su Metafísica
(Libro XII cap.III, v. 9): "Las formas que mejor expresan la belleza
son el orden, la simetría, la precisión. Y las ciencias matemáticas son las que
se ocupan de ellas especialmente".
Son muchos los testimonios que confirman la existencia de
un verdadero placer estético en la creación y contemplación matemática. Así se
expresa H. Poincaré en La Valeur de la Science: "Más allá de la
belleza sensible, coloreada y sonora, debida al centelleo de las apariencias,
única que el bárbaro conoce, la ciencia nos revela una belleza superior, una
belleza inteligible únicamente accesible, diría Platón, 'a los ojos del alma',
debida al orden armonioso de las partes, a la correspondencia de las relaciones
entre ellas, a la euritmia de las proporciones, a las formas y a los números.
El trabajo del científico que descubre las analogías entre dos organismos, las
semejanzas entre dos grupos de fenómenos cualitativamente diferentes, el
isomorfismo de dos teorías matemáticas es semejante al del artista".
Tal vez uno de los testimonios más elocuentes de esta
afirmación sea el diario personal de Gauss. En este diario, escrito para él
mismo especialmente en la etapa anterior a sus veinte años, período de muchos
de sus grandes descubrimientos, va anotando, con un laconismo lleno de fuerza y
de entusiasmo, sus observaciones sobre el universo matemático que se va
desvelando ante sus ojos asombrados.
Pero este mismo placer estético en la contemplación
matemática se da, en menor grado naturalmente, en todos aquellos a quienes se
les presentan adecuadamente los hechos y métodos más salientes de la matemática
elemental. Por supuesto que el goce estético de la matemática se encuentra en
el mundo de la armonía intelectual, y así su percepción requiere una
preparación inicial tanto mayor cuanto más elevado sea el objeto que se
presenta. Por otra parte, así como el placer que puede proporcionar la pintura
y la música, dirigidas a nuestros sentidos, al menos de modo inmediato, es
perceptible hasta cierto grado con una contemplación más o menos pasiva, el
placer estético de la matemática exige sin duda un grado de participación
activa mucho más intenso. En el mundo de la matemática, a fin de gozar del
objeto bello que se presenta, es necesario crearlo o recrearlo, de tal modo que
el goce estético aquí presente es comparable más bien con el de hacer música,
cantar, danzar, pintar, fabular...
Analicemos un poco más a fondo el origen de esta belleza
matemática colocándonos desde una perspectiva clásica. La belleza en general ha
recibido muchas definiciones. S. Alberto Magno definió la belleza en el objeto
como splendor formae, el resplandor del núcleo fundamental del ser, su
unidad (armonía interna), su verdad (es decir su inteligibilidad y adecuación
consigo mismo y con el mundo en su entorno), su bondad (su capacidad de llenar
sus tendencias propias y las de los seres a su alrededor). Estas cualidades
deben resplandecer de modo que sean accesibles y deleitables sin áspero
trabajo. Otra definición clásica de la belleza que atiende a la componente
subjetiva es la de Sto. Tomás de Aquino: Pulchra sunt quae visa placent. Bello
es aquello que resplandece luminoso en su propio ser de modo que a quien lo
mira le proporciona el sosiego y la facilidad de una percepción perfecta: la
contemplación estética. Es aquello que se manifiesta de tal forma que produce
una actividad armoniosa y compenetrada de las capacidades anímicas del hombre.
No se puede tampoco pretender describir la belleza
matemática con un simple trazo. Me limitaré a señalar unos cuantos elementos de
belleza que, a mi parecer. constituyen componentes bastante típicas en la
actividad matemática. Un tipo de belleza matemática consiste en el orden
intelectual que ante hechos aparentemente inconexos comienza a aparecer. Como
un paisaje desde lo alto de la montaña que se desvela de una bruma que lo
cubría. Todo el objeto contemplado aparece en conexión y la unidad lo invade.
Entes aparentemente diversos que surgen en contextos diferentes resultan ser el
mismo o estar ligados por una estructura armoniosa. La contemplación fácil de
esta unidad inesperada es sin duda una de las fuentes de gozo estético de
muchos hechos matemáticos.
Por poner un ejemplo tomado de la geometría elemental,
consideremos cómo surgen las cónicas mediante la sección de un cono circular
recto por un plano (ver el recuadro 1). La
sola contemplación de una figura bien trazada nos muestra enseguida que la
elipse que así se define es el lugar de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos es una longitud constante y que, al mismo tiempo,
esta elipse es también lugar geométrico de todos los puntos tales que la razón
de distancias a un punto y a una recta fija es igual a una constante, hecho
nada sencillo de probar analíticamente.
Otro tipo de gozo matemático consiste en la realización
de una ampliación de perspectivas con la que de una visión parcial se llega a
la contemplación total de un objeto mucho más esplendoroso, en el que nuestro
cuadro inicial queda englobado ocupando su lugar justo. En la exposición actual
de la teoría de los números naturales, enteros, racionales, reales, complejos,
se resume toda una aventura apasionante del espíritu humano que, a través de
más de sesenta siglos de historia escrita, ha tenido sus callejones
aparentemente sin salida, sus idas y venidas, sus paradojas.
Otro elemento estético presente muchas veces en la
creación matemática consiste en la posibilidad de una contemplación descansada
e inmediata de una verdad profunda, inesperada y llena de implicaciones. Como
ejemplo de la matemática elemental puede citarse la demostración, que no
requiere palabras, del teorema de Pitágoras que se presenta en el recuadro 5. o bien la demostración de uno de los
resultados favoritos de Arquímedes que se presenta en el recuadro
2.
Para mí mismo, el haberme percatado hace unos años de la
posibilidad de llevar a cabo la elegante demostración del teorema de Brianchon,
de tanta profundidad e importancia para la geometría proyectiva, que se
presenta en el recuadro 3, constituyó un motivo de
goce estético enormemente intenso. No es que se pueda afirmar que todo el
contenido de la matemática presente el mismo grado de belleza, ni siquiera que
contenga belleza. Es indudable que el que una proposición sea cierta no implica
que sea bella. Que 2^32 + 1 es el producto de los números primos 641 y 6700417
es una verdad matemática interesante por motivos históricos, pero carente de
gran belleza intrínseca. Existen teoremas claramente feos. Muchas teorías, en
su nacimiento penoso y reptante, han resultado en un principio confusas y
desprovistas de unidad y belleza. El cálculo infinitesimal de los tiempos de
Newton y Leibniz constituye probablemente uno de los logros más importantes y
útiles de la ciencia moderna, pero el grado de confusión y fealdad en que en un
principio se encontraba contribuyó bastante a que su expansión y aceptación
fuesen mucho más lentas de lo que la teoría merecía.
¿Qué características debe ofrecer un hecho matemático
para que se pueda calificar como bello? La belleza matemática parece incluir
cualidades tales como seriedad, generalidad, profundidad, inevitabilidad,
economía de pensamiento, transparencia, sobriedad, adecuación... La seriedad se
manifiesta en las ideas que pone en conexión, que normalmente dan lugar, en su
desarrollo, a una buena porción del campo matemático en que tal hecho se
encuentra, ya sea porque el método que lo crea es la clave que impregna dicho
campo, ya sea porque el hecho en cuestión es el germen de todo ese cuerpo
matemático. La generalidad se ha de dar con una cierta mesura. La generalización
por sí misma no es en muchos casos más que el producto de una manía, sin gran
valor; pero es cierto que un hecho demasiado concreto no despierta una gran
admiración. Los matemáticos suelen calificar un método de "elegante"
para indicar el tipo de sobriedad, economía de medios y transparencia que a
veces se encuentra en la demostración de tal o cual teorema o hecho matemático.
El proceso diagonal de Cantor, el método de dualidad en geometría proyectiva
son ejemplos característicos de esta cualidad. Allí donde hay belleza
matemática, ésta no se agota y su contemplación nunca deja de producir ese
sentimiento de satisfacción, adecuación y acabamiento que una obra
arquitectónica perfecta produce en el ánimo de quien la contempla.
La cualidad artística de la matemática se manifiesta
asimismo en el proceso de su creación, que participa mucho de las
características del proceso creativo de cualquier otro arte. Existe un
magnífico estudio psicológico de J. Hadamard, gran matemático él mismo, sobre
el proceso creativo en matemáticas (The psichology of invention in the
mathematical field, Princeton University Press, 1945). Otro de los clásicos
sobre este tema es un artículo famoso, muchas veces reproducido, de Poincaré (L'invention
mathématique). Quien no haya tenido alguna experiencia creativa en
matemáticas no podrá menos de sentirse asombrado ante las observaciones de
Poincaré sobre el proceso matemático. A juzgar por el papel que desempeña la
intuición, la inspiración, el trabajo y el descanso, y aun el sueño, o el
ensueño, uno pensaría asistir a la composición de una sinfonía musical. Y en
este sentimiento de dádiva repentina que la creación matemática comporta a
menudo coinciden muchos matemáticos famosos como atestigua el mismo estudio de
Hadamard. Por eso puede afirmar Poincaré con toda razón: "Puede extrañar
el ver apelar a la sensibilidad a propósito de demostraciones matemáticas que,
parece, no puede interesar más que a la inteligencia. Esto sería olvidar el
sentimiento de belleza maternática, de la armonía de los números y las formas,
de la elegancia geométrica. Todos los verdaderos matemáticos conocen este
sentimiento estético real. Y ciertamente esto pertenece a la sensibilidad.
Ahora bien, ¿cuáles son los entes matemáticos a los que atribuímos estas características
de belleza y elegancia y que son susceptibles de desarrollar en nosotros un
sentimiento de emoción estética? Son aquellos cuyos elemento están dispuestos
armoniosamente, de forma que la mente pueda sin esfuerzo abrazar todo el
conjunto penetrando en sus detalles. Esta armonía es a la vez una satisfacción
para nuestras necesidades estéticas una ayuda para la mente, a la que sostiene
y guía. Y al mismo tiempo, al colocar ante nuestros ojos un conjunto bien
ordenado, nos hace presentir una ley matemática... Así, pues, es esta
sensibilidad estética especial la que desempeña papel de criba delicada de la
que hablé antes. Esto permite . comprender suficientemente por qué quien no la
posee no será nunca un verdadero creador".
El que la matemática participe, efectivamente, de la
condición de creación artística no da, por supuesto, carta blanca a los
matemáticos para entregarse a un esteticismo estéril. La calidad artística de
la matemática es como una dádiva con la que se encuentran quienes se dedican a
esta actividad que es, al mismo tiempo y en grado muy intenso, ciencia y
técnica. A este propósito resultan muy acertadas las sensatas observaciones de
uno de los mayores matemáticos de nuestro tiempo, creador él mismo de un sinfín
de campos matemáticos diversos. Así dice John von Neumann en su artículo The
Mathematician: "A medida que una disciplina matemática se separa más y
más de su fuente empírica o aún más si está inspirada en ideas que provienen de
la realidad de un modo sólo indirecto, como de segunda o tercera mano, está más
cercada por graves peligros. Se va haciendo más y más esteticismo puro, se
convierte más y más en un puro arte por el arte. Esto no es necesariamente malo
si el campo en cuestión está rodeado de otros campos relacionados con él que
tengan todavía conexiones empíricas más cercanas, o si la disciplina en
cuestión está bajo la influencia de personas dotadas de un gusto
excepcionalmente bien desarrollado. Pero existe un grave peligro de que este
campo venga a desarrollarse a lo largo de las líneas de menor resistencia, de
que la corriente, tan lejos de su fuente, venga a disgregarse en una multitud
de ramas insignificantes y de que la disciplina venga a convertirse en una masa
desorganizada de detalles y complejidades. En otras palabras, a gran distancia
de su fuente empírica, o bien después de mucha incubación abstracta, un campo matemático
está en peligro de degeneración".
Matemática como
instrumento de exploración
La matemática es también un instrumento de exploración de
la naturaleza. Aristóteles ha expresado así el caracter "liberal" de
la matemática en su mismo nacimiento: "Pero una vez que todas las técnicas
necesarias se constituyeron, se vieron surgir ciencias cuyo objeto no puede
ser ni la comodidad ni la necesidad. Nacieron primero en los climas donde
el hombre puede entregarse más fácilmente al ocio y así las ciencias
matemáticas nacieron en Egipto, donde la casta de los sacerdotes ocupaba de
esta manera sus ocios" (Metafísica, Libro I, cap. 1, v.18).
La observación es interesante y expresa la concepción
predominante en la Grecia clásica sobre el caracter desligado de toda
consideración utilitaria de la matemática. Pero la afirmación de Aristóteles es
falsa. La matemática occidental surgió primero entre los babilonios con fines
prácticos bien concretos, económicos y astronómicos.
Las tablillas babilónicas que se conservan son un buen
testimonio de ello. Hacia el siglo VIII a. de C. se puede decir que la astronomía
babilónica alcanza un grado de desarrollo capaz de medir con bastante exactitud
y predecir diversos fenómenos astronómicos. Se podría pensar que este tipo de
aplicación práctica no es el mismo al que la técnica moderna nos tiene
acostumbrados. La astronomía de aquel tiempo, podría suponerse, era
especulativa. Pero no es cierto, pues los astrónomos babilonios seguían una
finalidad práctica con sus mediciones y observaciones. Se trataba de elaborar
con ellas los calendarios y vaticinios para sus monarcas. El carácter especulativo
y contemplativo de las matemáticas predominó entre los griegos. La matemática
pura tal como hoy la conocemos es creación de los matemáticos griegos de los siglos
VI al III a. de C. culminando su creación con los Elementos de Euclides,
que constituyen una recopilación del saber profesional hasta entonces.
El carácter práctico y aplicado de la matemática aparece
esporádicamente en la obra de Arquímedes, por ejemplo, quien llega a presentar
sus invenciones casi como una aberración por la que pide disculpas. Así lo
explica Plutarco en la vida de Marcelo, el general romano que conquistó la
ciudad de Siracusa después de un largo asedio: "... aunque sus inventos le
habían dado la fama de poseer una sagacidad más que humana no se dignó dejar
tras de sí ningún trabajo escrito sobre tales materias, sino que, considerando
como innoble y sucio el objeto de la mecánica y toda suerte de artes dedicadas
a la utilidad y al provecho, puso toda su ambición en aquellas especulaciones
cuya belleza y sutileza no están teñidas por ningún color que aluda a las necesidades
ordinarias de la vida".
Aplicabilidad
de la matemática
La matemática aplicada se refugia sobre todo en la
astronomía, que en el período helenístico alcanzó un enorme grado de
desarrollo, culminando en la obra de Ptolomeo, el Almagesto, compendio
de toda la evolución milenaria de la astronomía. La razón profunda de esta
situación se debe buscar en el hecho de que los fenómenos astronómicos resultan
estar más cerca de la abstración, con su relativa simplicidad y pureza,
comparados con los fenómenos inmediatos al hombre. Las órbitas de los planetas,
casi circulares, su repetición rítmica, hacen de los fenómenos astronómicos
algo muy cercano al experimento analítico, que ni babilonios, ni egipcios, ni
griegos conocieron. Esta circunstancia motivó que, desde la antigüedad y a
través de la Edad Media, hubiese una ruptura fundamental entre el mundo de los
astros y el mundo sublunar. El primero, de naturaleza cuasidivina, sujeto a las
leyes exactas y cuantitativas de la matemática. El segundo, enturbiado por la
presencia de fuerzas confusas no fácilmente inteligibles ni comprensibles por
el entendimiento humano. La ciencia moderna se caracteriza por la superación de
esta repugnancia a considerar el mundo de los astros y el mundo sublunar como
sujetos a las mismas leyes y a tratar de cuantificar los fenómenos terrestres,
caída de los cuerpos (Galileo), atracción gravitatoria (Newton), etcétera. La
conjunción de este cambio de mentalidad con la invención de un método tan poderoso
como el análisis matemático (hechos de ningún modo independientes) dieron lugar
al nacimiento, en primer lugar, de la física moderna y, más tarde, a la
tendencia generalizada hacia la matematización de todas las disciplinas del
saber humano.
La aplicabilidad de las matemáticas se ha calificado como
un misterio difícil de entender. Tal vez a un nivel elemental el hecho no
parezca tan sorprendente. La aplicabilidad de la noción de número en la vida
cotidiana del hombre, presente ya en las culturas más primitivas, parece un
hecho que no necesita mucha explicación. Y sin embargo detrás de este hecho se
esconde el mismo misterio que subyace a la extraña adecuación a realidades más
complicadas de las teorías matemáticas más complejas. El matemático observa el
mundo real dentro de sí mismo y en su entorno, abstrae unas cuantas propiedades
que a él le interesa destacar, con ellas construye su mundo mental abstracto
que pone en movimiento mediante las leyes básicas de su mente. Guiado por su
intuición y sentido estético dirige su construcción escogiendo unas cuantas de
las infinitas posibles estructuras que podría crear. Descubre así un complejo
mundo mental, que él ha perseguido por su coherencia, armonía, belleza
intrínseca. Y de repente, o paulatinamente, según los casos, observa que cierta
parcela del mundo real es iluminada y plenamente explicada mediante aquella
teoría matemática que hasta entonces se había mostrado alejada de la realidad.
Esta vivencia está constantemente presente en la historia de la matemática. El
misticismo filosófico de los pitagóricos del siglo VI a. C. es probablemente
una respuesta a ella, como lo es ciertamente el de Kepler en el siglo XVII.
Apenas se puede uno imaginar la sensación de congruencia y belleza que éste
debió de experimentar al comprobar que la teoría de las cónicas, tan cultivada
y perfeccionada por sí misma desde los días de Apolonio de Pérgamo (s. III a.
C.), se adaptaba plenamente a la explicación del movimiento planetario, viendo
que elementos con significado en apariencia puramente matemático como los focos
de tales cónicas adquirían una significación física tan importante (el Sol
ocupa uno de los focos de cada una de las cónicas descritas por los planetas).
El entusiasmo de Kepler ante esta coherencia, como en el caso de los pitagóricos,
explica y justifica sus extrapolaciones místicas en su obra Harmonice mundi.
Aplicabilidad de la matemática
La razón más profunda de
esta especie de armonía pre-establecida que se puede observar en la
aplicabilidad de la matemática al mundo real está íntimamente ligada al
problema filosófico fundamental de la teoría del conocimiento, en el que no
qusiera introducirme aquí. Me limitaré a iluminar este punto con tres
testimonios recientes. J. von Neumann escribe: "Yo creo que
constituye una aproximación relativamente buena a la verdad -una verdad tan
complicada que otra cosa que una aproximación a ella es impensable- el decir
que las ideas matemáticas se originan en la experiencia, si bien su genealogía
es a veces larga y oscura. Sin embargo una vez se han estructurado a partir de
ella comienzan una vida peculiar, independiente, y se podría comparar el objeto
matemático de la forma más adecuada con un sujeto creador, al que subyacen casi
exclusivamente motivaciones estéticas, pero en ningún modo se puede comparar con
una ciencia empírica". En su artículo sobre L'architecture des mathématiques,
N. Bourbaki afirma: "Que existe una relación íntima entre los
fenómenos experimentales y las estructuras matemáticas parece confirmarse
plenamente de la forma más inesperada mediante los descubrimientos más
recientes de la física contemporánea. Pero no sabemos absolutamente nada sobre
los fundamentos de este hecho (suponiendo que se pudiera encontrar realmente
significación a estas palabras) y tal vez no lleguemos a saber nunca sobre
ello". Por su parte, E. P. Wigner cierra su famoso artículo The
unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences con estas
palabras: "el milagro de la adecuación del lenguaje de la matemática para
la formulación de las leyes físicas es un don maravilloso que ni entendemos ni
merecemos. Deberíamos mostrarnos agradecidos por él y esperar que permanecerá
siendo válido en la investigación futura y que se extenderá, para bien o para
mal, para placer nuestro aunque también tal vez para nuestra perplejidad, a
ramas más amplias del saber".
La matemática es también un juego. "Un buen juego
matemático vale por muchos teoremas" ha afirmado uno de los grandes
matemáticos de nuestro tiempo, J. E. Littlewood. El carácter lúdico de las matemáticas
ha estado presente en ellas desde antiguo. Como ya hemos tenido ocasión de ver,
Aristóteles considera las matemáticas hasta cierto punto como la ocupación de
los ociosos sacerdotes egipcios. El tipo de reto intelectual que la geometría
elemental o la teoría de números presenta difiere muy poco del que se encuentra
en multitud de acertijos populares. Una buena proporción de la matemática seria
de nuestros textos debe su nacimiento a un profundo acertijo o juego
matemático. Así comenzó, por ejemplo, la topología: "el problema que,
según entiendo es muy bien conocido, se enuncia así: en la ciudad de
Kónigsberg, en Prusia, hay una isla, llamada Kneiphof, rodeada por los dos
brazos del río Pregel. Hay siete puentes A, B, C, D, E, F y G, que cruzan los dos
brazos del río (ver el recuadro 4).
La cuestión consiste en determinar si una persona puede realizar un paseo
de tal modo que cruce cada uno de los puentes una sola vez. Se me ha informado
de que mientras unos negaban la posibilidad de hacerlo y otros lo dudaban,
nadie sostenía que fuese posible realmente"'. Con estas palabras introduce
Euler el problema de los siete puentes de Königsberg, iniciando así un nuevo
género de consideraciones matemáticas que darían lugar a la moderna topología.
El problema que se propone aquí es equivalente, como se observa fácilmente
reduciendo la isla y las zonas de tierra a sendos puntos y los puentes a arcos
que los unen, al de dibujar la figura indicada sin levantar el lápiz del papel
y sin recorrer cada línea más de una vez. Un problema semejante al de dibujar,
con las mismas condiciones, las figuras indicadas a continuación que todos
hemos conocido de niños.
Ha habido muchos problemas famosos con aspecto de enigmas
de la esfinge que han dado lugar a la creación de teorías matemáticas. Tal tipo
de problemas abunda extraordinariamente en el campo de la teoría de números.
Muchos están aún por resolver. He aquí algunos: ¿Es cierto que para ningún
entero n mayor que 2 y ningún trío de números enteros positivos x, y, z
mayores que 0 se verifica x' + y' = z? (problema de Fermat); ¿es cierto que
todo número par es suma de dos números primos? (conjetura de Goldbach);
¿existen infinitos pares de números primos (p,q) tales que q = p + 2? (problema
de los números primos hermanos).
El famoso problema de los cuatro colores (¿es posible
colorear adecuadamente un mapa cualquiera con cuatro colores o existirá un mapa
que necesite cinco colores para que los países vecinos se distingan
apropiadamente?) nació como curiosidad de un estudiante de Cambridge en 1852.
El problema ha estimulado por más de un siglo el trabajo de innumerables
matemáticos y ha sido resuelto por Appel y Haken, de la Universidad de
Illínois, en 1976 . Las implicaciones del método de resolución de esta
cuestión, que nació como un rompecabezas curioso, sobre la estructura de la matemática
futura están aún por ver. Lo que ahora es el teorema de los cuatro colores
(cuatro colores bastan) ha sido demostrado mediante la intervención, hasta ahora
totalmente imprescindible, del computador. Es decir, no se conoce ninguna
cadena de razonamientos del tipo de la matemática de siempre, asequible por la
mente humana sin la ayuda de aparatos externos, que conduzca al teorema. Este
hecho nuevo en la historia de la matemática plantea cuestiones profundas y muy
interesantes sobre el porvenir de la matemática. ¿Será tal vez imposible
construir una demostración manejable sin computador? ¿Qué grado de certeza
proporciona una demostración de este tipo? Nuestra evidencia es sustituída por
la fiabilidad del computador. ¿Cuántos y qué tipo de problemas abiertos en
matemáticas esperan una solución semejante? ¿Acaso el problema de Fermat o la
conjetura de Goldbach puedan resolverse de modo análogo? ¿Modificará sustancialmente
el computador nuestra forma de proceder como matemáticos?
El juego matemático sigue atrayendo intensamente tanto a
matemáticos como a no matemáticos. Prueba de ello es, por ejemplo, la constancia
del éxito de la sección permanente de Martin Gardner por tantos años en esta
revista. De vez en cuando aparecen en el mundo juegos matemáticos, en nuestros
días el cubo de Rubik, que por su capacidad de atracción se convierten en el
entretenimiento intenso de millones de personas por muchas horas. Es una verdadera
lástima que el contenido lúdico y artístico de la matemática no sea explotado
más a fondo por los enseñantes a todos los niveles, pero sobre todo en los
primeros pasos de la educación matemática. A mi parecer la incapacidad
confesada para las matemáticas de muchas personas altamente cultivadas,
competentes en otras actividades y profundamente inteligentes, se debe sobre
todo a un bloqueo psicológico inicial, originado por los métodos equivocados de
enseñanza.
La matemática aventura
del pensamiento
Vayamos, por fin, a la matemática como aventura del
pensamiento. Heidegger ha hablado de "eterno aburrimiento del avance
rectilíneo de la matemática", observación compartida por muchos que se
maravillan de que en esta ciencia haya todavía algo por hacer. Tal ignorancia
puede ser disculpada por el hecho de que así como para hablar de otras muchas
actividades del espíritu humano sólo se precisa un poco de audacia y otro poco
de información, de las matemáticas sólo se puede hablar desde dentro; sólo
quien ha asimilado el método matemático y ha tratado de manejarlo está
capacitado para entender lo que la creación matemática comporta.
La matemática es una actividad profundamente humana y
como tal ha participado y participa intensamente de las vicisitudes históricas
del hombre. Está sujeta, al igual que todas las artes, a las modas, corrientes
y catástrofes que afectan al hombre. Por ejemplo, la decadencia del pueblo
griego y la supremacía del romano, menos dotado para la especulación que el
primero, fue causa de un estancamiento de la matemática de Occidente por muchos
siglos. La adopción de un simbolismo inapropiado retrasó en unos cincuenta años
el desarrollo de las matemáticas en Inglaterra. A una escala temporal más
reducida, es evidente que existen modas y corrientes que producen fluctuaciones
más o menos intensas en la actividad matemática a todos los niveles, influyendo
tanto en la formación de quienes comienzan como en la actividad de los
matemáticos de vanguardia,
La matemática participa efectivamente de modo intenso de
los avatares históricos del hombre. Pero es que, además, en su mismo progreso
intrínseco, la matemática tiene todos los trazos de una apasionante aventura
del espírítu. En ella abundan los momentos de incertidumbre y confusión, tales
como el apercibimiento por los pitagóricos de la existencia del número
irracional, como su nombre indica (alogos arizmos), un monstruo que no
encaja en el armazón cristalino y límpido de la matemática pitagórica.
En lugar de enfrentarse con el reto que representaba este
contratiempo, o de saber convivir con él, la matemática griega abandonó un
tanto el desarrollo del número y se dedicó más intensamente al cultivo de la
geometría, lo que tuvo consecuencias importantes en la evolución de la
matemática. La aparición del número imaginario fue encajada con más pragmatismo
por los algebristas del Renacimiento, que aprendieron a manejarlo
aceptablemente incluso sin entender su naturaleza. Ha habido otros muchos
períodos importantes de perplejidad y polémica intensa. Las paradojas de Zenón
en el siglo V (Aquiles y la tortuga, la dicotomía, la flecha,...), que tratan
de poner de manifiesto la incapacidad humana para dominar los procesos
infinitos, debieron de causar una sensación de callejón sin salida semejante a
la que los matemáticos del siglo XX han experimentado cuando empezaron a
aparecer las paradojas de la teoría de conjuntos que cuarteaban lo que había
comenzado a ser considerado como base de todo el edificio de las matemáticas.
Ante esta situación y ante los teoremas descubiertos por Gödel y los lógicos
modernos, que ponen bien en claro, entre otras cosas, la incapacidad de la
matemática para colocar sus propias bases fuera de toda duda (imposibilidad de
demostrar la consistencia, es decir, la ausencia de contradicción, del edificio
matemático), constituyen una expresión típica del sentir de los matemáticos
contemporáneos las siguientes palabras de N. Bourbaki en L'architecture des
mathématiques: "Creemos que la matemática está destinada a sobrevivir
y que jamás tendrá lugar el derrumbamiento de este edificio majestuoso por el
hecho de una contradicción puesta de manifiesto repentinamente, pero no pretendemos
que esta opinión se base sobre otra cosa que la experiencia. Es poco, dirán algunos.
Pero desde hace 25 siglos los matemáticos tienen el hábito de corregir sus
errores y de ver así su ciencia enriquecida, no empobrecida. Esto les da el
derecho de arrostrar el porvenir con serenidad".
Figura 1
1. La elipse es la sección obtenida al cortar el cono circular
recto por un plano pi que forma un ángulo con el eje del cono mayor que el
ángulo que forman las generatrices del cono con dicho eje. Trazando las dos
esferas indicadas en la figura de la izquierda tangentes a pi en F1, y F2 y a
todas las generatrices del cono y trazando una generatriz r cualquiera, se
observa que AF1 = AM, AF2 = AN, AF1 + AF2 = MN = constante. Así, para cada
punto de la elipse la suma de sus distancias a los dos focos AF1 + AF2, es
constante e igual al eje mayor de la elipse (figura de la izquierda). Asimismo,
la figura de la derecha nos muestra, trazando el plano sigma que contiene el
círculo de la esfera superior, la recta d intersección de pi y sigma, la
proyección M de A sobre sigma y la proyección Q de M sobre d, que AQ/AF1= AQ/AP
= (AM/cos beta) / (AM/AM/cos alfa) = cos alfa/cos beta = constante. Por tanto,
para cada punto de la elipse la razón de distancias a una recta fija d y al
foco F es constante (excentricidad).
2. Modo en que probablemente
Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) descubrió el hecho de que el volumen de
la esfera de radio R es (4/3)piR^3. Si se considera, como se indica en la
figura, el cilindro recto circunscrito a la esfera y el cono con vértice en el
centro de la esfera y base la del cilindro, y a continuación se observan las secciones
de los tres cuerpos por un plano paralelo a la base común del cilindro y del cono,
es facildeducir, mediante el teorema de Pitágoras, que el área de la sección en
el cilindro es la suma de las áreas de las secciones producidas en el cono y en
la esfera. Como esto es válido para cada plano paralelo a la base se puede
deducir, mediante el métodode exhausción de Eudoxo (s. IV a. C.), que el
volumen de la semiesfera es igual al del cilindro pi R^3menos el del cono 1/3
piR^3. Es decir, el volumen de la esfera es 4/3 pi R^3.
3. El hexagrama místico.
El teorema de Brianchon (primera figura de las de arriba) afirma que si en un
círculo (o en una cónica cualquiera) se circunscribe un hexágono arbitrario,
las tres diagonales que unen vértices opuestos se cortan en un punto. La
siguiente demostración, publicada por el autor por primera
vez en 1976, es un buen ejemplo de las características del tipo de belleza que
tantas veces se presenta en los hechos y métodos matemáticos. Se basa en las
dos sencillas observaciones siguientes:
(1) Si se fija un
sentido sobre un círculo C en el plano pi (tercera figura de las de arriba), se
toman dos puntos A y B sobre C, se trazan semirrectas tangentes a C en A y B
respectivamente en sentido contrario y finalmente se toman dos rectas
hacia arriba tangentes al cilindro recto de sección C formando ángulos de igual
magnitud con el plano pi, entonces estas dos rectas se cortan en un punto P (o
bien son paralelas si A y B son diametralmente opuestos). La proyección de P
sobre pi es el Punto Q intersección de las dos semirrectas tangentes en A y B.
Y recíprocamente, si se toman Q, se toma P situado en la vertical sobre Q y se
une P con A y B, entonces los ángulos PAQ y PBQ son iguales.
(2) Tres rectas en el
espacio que se cortan dos a dos y no están en un mismo plano pasan las tres por
un mismo punto del espacio. Con estas dos observaciones el teorema resulta de
modo sencillo.
Se considera el círculo
C en el plano pi y el hexágono circunscrito V1V2V3V4V5V6 (segunda figura de las
de arriba).Por V, levantamos una perpendicular a pi hasta un punto
arbitrario V'. Unimos V1 al punto de tangencia de V1 V2 a C y prolongamos hasta
cortar la perpendicular por V2 a pi en V'2. Procediendo así
sucesivamente obtenemos en el espacio V'1 V'2 V'3 V'4 V'5 V'6y volvemos a V1.
Consideremos ahora V'1 V'4 y V'2 V'5. Observemos que V'1V'2 y V'4 V'5
son dos rectas en la situación de la observación (1). Así, o son paralelas o
se cortan. Por tanto V'1 V'4 y V'2 V'5están en un plano y, así, o bien son
paralelas o se cortan. Se excluye que sean paralelas por construcción. Así se
cortan. Lo mismo vale para V'2V'5 y V'3V'6. Se cortan. También V'1V'4
Y V'3V'6 se cortan. Usando la observación (2) resulta que las tres rectas
se cortan en un punto, pues no están en un mismo plano por construcción. Por
tanto sus proyecciones sobre pitambién, pero éstas son precisamente las diagonales
V1V4, V2V5, V3V6.