Bloque de Álgebra 2º bachillerato CNS

S I S T E M A S L I N E A L E S

INTRODUCCIÓN

Muchos problemas que se nos plantean pueden reducirse a encontrar uno o varios números desconocidos, que llamamos incógnitas, sujetos a una serie de condiciones que nos permiten plantear una o varias ecuaciones (sistemas). El objetivo de este tema es el estudio de los sistemas lineales y de métodos para su resolución[1]. Terminaremos el tema dando algunas estrategias para el planteamiento de los llamados problemas lineales y algunos “modelos” resueltos.

1. Igualdades, identidades, ecuaciones (repaso[2]).

Una igualdad, (=), es una relación de equivalencia[3] entre dos expresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, alguno o todos los valores. Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro.

igualdad

una expresión = otra expresión

primer miembro segundo miembro

· Si la igualdad se cumple entre números se denomina identidad numérica.

Ejemplo 1: 2 +4 +5 = 1 +10

· Una identidad literal es una igualdad que se cumple para todos los valores.

Ejemplo 2:

· Cuando la igualdad se convierte en identidad numérica sólo para determinados valores se la llama ecuación. A las letras se les llama indeterminadas o incógnitas.

Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.

Ejemplo 3: 5x - 1 = 2x -3 es una ecuación con una incógnita.; se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.

Al valor, o valores, que convierten la ecuación en identidad numérica se les llama solución (o raíz) de la misma.

Ejemplo 4. Una solución de la ecuación del ejemplo 3 es x=-2/3 .

Ejercicio 1. Encuentra 2 soluciones de la ecuación 3x-2y-1=0

Resolver una ecuación en encontrar todas sus soluciones o llegar a la conclusión de que no tiene ninguna.

Ejemplo 5.

a) x² + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R.

b) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2)....

2. Ecuaciones lineales.

Si las expresiones de los miembros de las igualdades son polinomios se las llama ecuaciones polinómicas.

Cuando son polinomios de grado uno se trata de las ecuaciones lineales.

Ejemplo 6. 5x - 6y - 1 = 0, es una ecuación lineal con dos incógnitas.

En general una ecuación lineal con n incógnitas será de la forma:

, con algún ai distinto de 0.

A los a_i se les llama coeficientes de las incógnitas y a b término independiente

Para encontrar una solución particular de una ecuación lineal con n incógnitas, se les da valores arbitrarios a n - 1 cualesquiera de ellas, con lo que se reduce la ecuación a otra de una sola incógnita y se resuelve.

Ejemplo 7. Vamos a encontrar dos soluciones particulares de la ecuación 3x +2y -z = 1.

Si damos a x el valor 0 y a y el valor 1, se obtiene z= 1Þ la solución es ( 0, 1, 1).

Análogamente, x = 1, y = 0 , nos da z = 2 y la solución es la terna (1,0,2). Comprobarlas.

Para encontrar la solución general, de la ecuación lineal, se consideran a n - 1 incógnitas como parámetros y se resuelve en función de éstos.

Al número de parámetros de una ecuación lineal se le denomina grado de libertad o de indeterminación de la misma.

Ejemplo 8.

Consideremos la ecuación 2x - 3y + z = 1; es una ecuación lineal con tres incógnitas; 3 -1 = 2, es decir depende 2 parámetros. La ecuación tiene por lo tanto dos grados de libertad.

Si hacemos x = t, e y = s, quedaría z = 1 - 2t + 3s.

La solución sería ( t, s, 1 -2t + 3s).

3. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.

Ejemplo 9: es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas.

Un sistema de m con n incógnitas se puede escribir, en general:

(1)

En este sistema x₁, x₂, ....x_n son la incógnitas; los números a_ij son los coeficientes del sistema y b₁, b₂,......b_m los términos independientes.

El sistema se dirá homogéneo si todos los b_j son cero.

Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución.

Nota. Los sistemas homogéneos tienen siempre, al menos, una solución la (0,0,..0) que se llama solución trivial.

Clasificación de sistemas.

Si el sistema tiene solución se dice compatible. Si la solución es única se dice determinado y en otro caso indeterminado. Si no tiene solución se dirá incompatible.

Es decir se clasifican, según el número de soluciones en:

· Compatibles (según tengan una ó infinitas soluciones)

· Incompatibles (ninguna solución)

Ejemplo 10. El sistema:

es incompatible.

4. Método de Gauss para la resolución de sistemas lineales. Tratamiento matricial.

Definición 1. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

El método general de resolver sistemas de ecuaciones es encontrar otro sistema equivalente de más fácil resolución.

Definición 2. Se llaman transformaciones elementales (o de equivalencia) a aquellas modificaciones de un sistema lineal que lo transforman en otro equivalente.

Proposición. Las siguientes transformaciones son elementales.

1) Permutar dos ecuaciones.

2) Multiplicar una ecuación del sistema por un número distinto de 0.

3) Sumar a una ecuación del sistema otra multiplicada por un número.

4) Cambiar el orden de las incógnitas.

5) Despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en las demás ecuaciones.

6) Suprimir o añadir una ecuación que sea combinación lineal de las otras.

La demostración es inmediata en todos los casos.

Método de Gauss

El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales se puede considerar como un generalización del de reducción (para los sistemas con dos o tres incógnitas). En esencia consiste en hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas transformaciones elementales a fin de obtener un sistema escalonado, más fácil de resolver.

Ejercicio. Resuelve el sistema: usando el método de Gauss

Teorema. Todo sistema de m ecuaciones con n incógnitas, puede reducirse a un sistema equivalente del tipo:

(Se harían cero los coeficientes necesarios hasta dejarlo escalonado usando el método de Gauss que se ha explicado en clase)

Consecuencias:

1) Si alguno de los d_k+1, .....,d_m, es distinto de 0 el sistema es incompatible.

2) Si todos los d_k+1, .....,d_m son 0 es compatible, y a su vez se pueden presentar dos casos:

 Si k = n el sistema queda reducido a uno equivalente con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Luego la solución es única: compatible determinado.

 Si k<n, es decir, hay más incógnitas que ecuaciones, entonces, asignando valores arbitrarios a las incógnitas x_k+1, .....,x_n, existirá una solución única de las x_1,, x₂,....,x_k, y por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones; es indeterminado con n - k grados de libertad.

(El teorema nos da una forma de clasificar el sistema).

Ejercicio. Clasifica y resuelve el sistema usando el método de Gauss

(Comprueba que la solución es: )

Observación: En todo el proceso lo que se manejan son los coeficientes de las incógnita y los términos independientes.

Teniendo en cuenta la observación anterior abreviaremos el proceso escribiendo sólo los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes, entre paréntesis y separados por una barra, esto se denomina tratamiento matricial[4] del sistema.

En el ejemplo siguiente se muestra el esquema de trabajo que se sigue.

Ejemplo. Resuelve el sistema:

Solución.

Considerando la disposición indicada[5]: ^{F2 -3F1 F3 - F1}

F₃ -F₂ , luego el sistema es incompatible.

(Observar que se ahorra bastante tiempo con la forma matricial del método de Gauss.)

Nota: Cuando permutemos las incógnitas se debe indicar. Se suelen escribir las incógnitas encima de la matriz ampliada del sistema.

Ejercicio 2. Resuelve el ejemplo 11 usando la forma matricial.

Aplicación del método de Gauss a la discusión de sistemas

Las consecuencias del teorema anterior se pueden expresar con la nueva notación así:

1) Si la disposición final de los coeficientes al aplicar el método de Gauss es:

, el sistema es incompatible.

2) Se pueden presentar dos casos:

, el sistema es compatible determinado

, compatible indeterminado

Ejercicio. Clasificar los siguientes sistemas y si fuese posible resolverlos:

a) ; b) ; c)

Ejercicio. Calcula el valor de m para que el sistema sea compatible determinado

5. Eliminación de parámetros.

Hemos visto que las soluciones de un sistema en algunos caso dependen de uno ó varios parámetros. El método de Gauss, además de resolver sistemas de ecuaciones lineales, permite apoyándose en la compatibilidad de éstos, eliminar los parámetros y obtener el sistema que genera dicha solución.

Ejemplo. Eliminar t y s en el sistema:

Solución

^F2+3F1 F₃ - 2F₁ .

Como el sistema es compatible se deduce que : , que es el sistema buscado.

Observar que es una recta, ¿se podía prever?

Ejercicio. Eliminar los parámetros t y s en el siguiente sistema:

6. Resolución de sistemas dependientes de un parámetro.

Un sistema lineal es dependiente de un parámetro cuando uno (o varios) de sus coeficientes (o términos independientes) es variable. Para su resolución[6] aplicamos de nuevo el método de Gauss, discutiendo las soluciones según los valores del parámetro (coeficiente variable).

Ejercicio. Discutir el sistema según los distintos valores del parámetro k:

^{Ejercicio. Discute y resuelve el sistema anterior en el caso de que fuese homogéneo.}

^{Ejercicio. Clasifica y resuelve, según los distintos valores del parámetro k, el sistema:}

Problema. Dado el sistema de ecuaciones lineales , se pide:

a) Deducir, razonadamente para que valores de α el sistema sólo admite la solución (x, y, z)=(0, 0, 0);

b) Resolver, razonadamente, el sistema para el valor de α que lo hace indeterminado. Selectividad 2009.

7. Significado geométrico de las ecuaciones y sistema lineales.

I) Interpretación geométrica de las ecuaciones lineales

Las soluciones de las ecuaciones lineales de 2 y 3 incógnitas pueden interpretarse de un modo geométrico en el plano y en espacio tridimensional, respectivamente.

1) La ecuación ax + by +c = 0, como se ha visto en cursos anteriores, representa una recta en el plano afín.

En efecto: si hacemos x = t, quedaría , que podemos escribir:

“Son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (0,-c/b) y (1,-a/b) es un vector de dirección.”

Ejemplo. Las ecuaciones paramétricas de la recta 6x - 2y + 5 = 0, son:

, pasa por el punto (0,5/2), y u n vector de dirección es (1,3) .

2) En el espacio tridimensional real la ecuación:

ax + by + cz + d = 0, representa un plano.

En efecto, como, para determinar un plano hay que conocer:

1) un punto por el que pase

2) dos vectores de dirección (vectores l.d. contenidos en el plano)

Si hacemos x = t, y = s, nos quedaría: ,

Son las llamadas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por (0,0, d/c) y tiene por vectores de dirección a (-b/a,1,0) y a (-c/b,0,1).

Podemos pues concluir que toda ecuación lineal de tres incógnitas representa un plano.

Ejemplo. Vamos a encontrar las ecuaciones paramétricas del plano, solución de la ecuación lineal,

2x - 3y + z =1.

Solución: Como ya hemos visto esta ecuación se puede escribir: ,

que son las ecuaciones del plano que pasa por el punto P(0,0,1) y tiene como vectores de dirección a v(1,0,-2) y w(0,1,3).

Ejercicio. Hallar las ecuaciones paramétricas de los planos siguientes:

a) x = 2; b) 2x + z = 0; c) 2x-4y +2z -1 = 0

II) Significado geométrico de los sistemas lineales.

Al igual que en las ecuaciones lineales, consideramos la interpretación geométrica en el plano (sistemas de ecuaciones con dos incógnitas) y en espacio (sistemas de ecuaciones con tres incógnitas)

 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Posiciones relativas de rectas en el plano.

Se propone como ejercicio 10. para el alumno.

 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

A) Sistemas de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.

La resolución del sistema:

en términos geométricos es el estudio de las posiciones relativas de dos planos, casos que se presentan:

 Planos paralelos. Sin puntos comunes, cuando el sistema sea incompatible.

 Planos que se cortan en una recta. Si el sistema es compatible pero indeterminado, con un grado de libertad.

 Planos coincidentes. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones son equivalentes y el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad

B) Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:

 Un punto único. Sistema compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P

.

P₃

P₁

P₂

P

 Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.

Los planos se cortan en r.

r

 Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

 Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.

Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:

P ₁

P ₂

P₃

Ejercicio. Estudiar los demás casos (hay otros tres).

8. Estrategias para la resolución de problemas lineales.

Para resolver un problema se necesita realizar cuatro fases[7]:

1ª. Comprender el problema.

Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:

¿Cuáles son los datos? ¿cuáles son las incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son insuficientes? ¿son redundantes?....

2ª Concebir un plan.

Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.

De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares.

¿Conoces problemas relacionados con éste?

¿Podrías plantear el problema de forma diferente?

¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...

¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?

.................

Obtener finalmente un plan de solución.

Para nuestro caso:

Escribir las ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.

3ª. Ejecutar el plan.

Resuelve el sistema por los métodos estudiados.

4ª. Examinar la solución obtenida.

Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.

Problemas resueltos

1. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

Solución

Sean: hombres	x
mujeres	y
niños	z

Planteamiento:

x + y + z = 20

x + y = 3z Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

x = y + 1

Se resuelve por el método de Gauss.

Þ Þ Þ

El sistema que resulta es:

x + y + z = 20

-2 y + 3z = 1

z = 5 Comprobar que la solución es: z = 5, y = 7 y x= 8.

3. Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas propone un problema que puede enunciarse así: el consumo en una cafetería de un vaso de limonada, tres sandwiches y siete bizcochos ha costado 1 chelín y 2 peniques, mientras que un vaso de limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos vale 1 chelín y 5 peniques. Hallar cuál es el precio:

1º) De un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho.

2º) De dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos.

Resolver el problema recordando que 1 chelín vale 12 peniques.

Solución. Es un problema con tres incógnitas y sólo dos condiciones, luego los valores de las incógnitas no se podrán determinar.

Llamamos : x al precio de un vaso de limonada

y al precio de un sandwich

z al precio de un bizcocho

Entonces: x + 3y + 7z = 14 (peniques)

x + 4y + 10z = 17

Lo resolvemos por Gauss: Þ

el sistema escalonado es:

x + 3y + 7z = 14 (peniques)

y + 3z = 3, que tiene menos ecuaciones que incógnitas. Es por tanto un sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad

Haciendo z=t, nos queda

x = 5 + 2t

y = 3 - 3t

z = t

Encontremos los precios de las combinaciones que nos piden.

1º) x + y + z = (5 + 2t) + (3 - 3t) + t =8 peniques. (no depende de t)

2º) 2x + 3y + 5z = 10 + 4t + 9 -9t +5t= 19 peniques. “

4. a) Hállense todos los valore posibles de a, b, y c para que los planos siguientes sean paralelos o coincidentes:

x + by + 5cz =1

2x + (a-1)y + (3b-1)z =2

b) ¿Para qué valores específicos de a, b y c los dos planos anteriores son coincidentes y pasan por el punto (1,2,-1)

Solución a) Por la condición de paralelismo:

1/2 = b/(a-1) = 5c/(3b - 1) = 1/2; serán coincidentes.

Se tiene:

1/2 = b/(a-1), de donde a - 1 = 2b Þ a - 2b - 1 =0

1/2 = 5c/(3b - 1) Þ 3b - 1 = 10c Þ 3b - 10c -1 =0

El sistema es indeterminado, si hacemos b = t, nos queda [1]

b) Si queremos que además pasen por (1, 2, -1) se tendrá:

1 + 2t - (-1+3t)/2 = 1, de donde t = -1,

Sustituyendo en [1] se obtiene: a = -1, b = -1, c = -2/5.

Ejercicios y problemas

1. Resuelve e interpreta geométricamente.

a) x + y + z = 0 b) 2x + 5y = 16 c) x + 2y =3

7x - 4y - z = -11 x + 3y -2z =-2 3x + y = 4

4x + 6y + 8z = 2 x + z = 4 2x - y = 1

d) x + y + z = 6 e) 2x - y + z = 3 f) x - y + z = 0

y - z = 1 x - 2y -z = 3 3x + 2y - 2z = 1

x + 2y = 0 4x - 5y -z = 9 5x = 1

2. Calcula k para que los planos siguientes se corten en una recta.

x + y + z = 2

2x + 3y + z = 3

kx + 10y + 4z =11

3. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro.

x + y + kz = 1

kx + (k-1)y + z = k

x + y + z = k + 1

4. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 3525 euros. Calcular cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 15 euros., cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble del número de viajeros que pagan el billete entero.

5. En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica la suma de los que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que están en contra de la citada norma. Determina cuántos entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y cuántos no opinan.

Nota: Se harán más ejercicios de sistemas al acabar el tema de determinantes.

Matrices

INTRODUCCIÓN

En el tema anterior hemos usado la “matriz ampliada” de un sistema, para manejar, con más comodidad, los números que intervienen en un sistema lineal. En otros muchos problemas es útil disponer y manejar un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Así es cómo se introdujo, en matemáticas, el concepto de matriz, como una disposición rectangular de números. Vienen a ser como una ampliación del concepto de número definiéndose para ellas operaciones como la suma y el producto¹ .

1. Concepto de matriz. Elemento y orden de una matriz.

Definición. Se llama matriz del tipo mxn a un conjunto de m.n números dispuestos en m filas y n columnas: columna

fila = A

Se escribirá A = (a_ij)

Se llama orden, tipo, o dimensión de una matriz, al tamaño mxn.

Ejemplo: A = es una matriz de orden 2x4, es decir, tiene dos filas y cuatro columnas.

Ejemplo 2. En un curso de 30 alumnos se han realizado cuatro evaluaciones, por lo tanto existen cuatro notas por cada alumno y los resultados se pueden disponen mediante una matriz:

Evaluaciones

^Alumnos

Ejercicio. Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1’5, 2 y 2,5 cm. con los precios respectivos siguientes:

Clavos A:	0,02	0,03	0,04	0,05	€
Clavos Q:	0,03	0,045	0,06	0,075	€
Clavos H:	0,04	0,06	0,08	0,10	€

Recoger la información en una matriz 4x3 que recoja los precios.

El conjunto de todas las matrices de orden mxn se representa M_mxn.

A cada número a_ij se le llama elemento o término de la matriz. El primer subíndice, y, indica la fila en que se encuentra el elemento, el segundo subíndice, j, la columna.

Dos matrices A y B , de M_mxn , son iguales si a_ij = b_ij para todo los i,j.

2. Tipos de matrices

Definiciones . La matriz se llama:

· Matriz fila , si tiene sólo una fila.

· Matriz columna, si tiene sólo una columna.

· Matriz nula, O, si todos sus elementos son 0.

·Matriz traspuesta de A y se designa A’ o A^t, a la que se obtiene cambiando filas por columnas.

Ejercicio. Calcula la matriz traspuesta de A =

· Matriz cuadrada, si tiene el mismo nº de filas que de columnas.

Si tiene n filas se dirá, simplemente, de orden n (en vez de nxn).

Los elementos a_ii (i=1,2...,n) forman la diagonal principal de la matriz

en esta matriz están indicados los elementos que fornan la diagonal secudaria.

·Matriz diagonal[8], la que todos sus elementos, excepto los de la diagonal principal, valen cero. Es decir a_ij = 0, cuando i ¹ j.

En particular, si todos los elementos de la diagonal son 1, se la llama matriz identidad, I, o unidad.

Ejercicio. Escribe la matriz identidad de orden 5.

· Matriz triangular² , superior si todos los elementos situados debajo de la diagonal principal son 0. Análogamente se define triangular inferior.

Ejemplo. La matriz es triangular superior.

· Matriz simétrica² , si coincide con su traspuesta, es decir a_ij = a_ji.

Ejemplo. La matiz identidad es una matriz simétrica.

Ejercicio. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3, a_{ij =} 2i - j , b_ij = . Se pide:

a) Escribe A y B

b)¿son simétricas?.

3. Operaciones con matrices.

I) Suma de matrices.

Sean A= (a_ij) y B = (b_ij) dos matrices de orden mxn. Se define la matriz suma de A y B como la matriz de orden mxn dada por:

A + B = ( a_ij + b_ij )

La suma de matrices, así definida, es una operación interna en el conjunto de las matrices de oren mxn, M_{m,n ,} verificándose además las siguientes:

Propiedades. Asociativa, conmutativa, elemento neutro (la matriz O), y elemento opuesto.[9]

Por tanto el conjunto M_m,n con + es un grupo aditivo.

II) Producto de una matriz por un número

Se define el producto de la matriz A = (a_ij) por el número real k así:

k.A = ( ka_ij)

Propiedades³. 1) (k + m ) A = kA + mA

2) (km) A = k(mA)

3) k (A +B) = kA + kB

4) 1.A = A

Consecuencia: El conjunto de las matrices mxn con las operaciones suma y producto por escalares es un espacio vectorial.

III) Producto de matrices

Se define el producto de la matriz A = (a_ij), de orden mxn, pr la matriz B = (b_ij), de orden nxp, como la matriz C= (c_ij) de orden mxp, obtenida así:

c_ij =

Observación: Para que dos matrices, A y B, se puedan multiplicar tiene que ocurrir que el número de columnas de A sea igual al de filas de B

Propiedades. 1) Asociativa, es decir A(BC) = (AB)C

(A +B ) C = AB +BC

Notas:

1) El producto de matrices, en general, no es conmutativo.

2) El producto de matrices tiene divisores de cero, es decir, podemos encontrar dos matrices no nulas cuyo producto sea la matriz nula.

Ejercicio. Sean A = , B = , C = .

a) Calcula A. B. ¿se puede verificar A.B = B.A? , razona la respuesta.

b) Calcula A.(B.C) y (A.B)C.

4. Matrices cuadradas. Matrices regulares.

Si llamamos M_n al conjunto de las matrices cuadradas de orden n se verifica que con las operaciones + y · , definidas anteriormente, es un anillo[10].

La unidad para el producto es la matriz identidad, I.

La simétrica para el producto, que llamaremos inversa, en general no existe.

Ejemplo. no tiene inversa.

Cuando una matriz A posea inversa diremos que es regular o inversible, y, por definición, esto ocurrira si existe otra matriz, que representaremos por A^-1, que verifique :

A. A^{-1 =} I, A^-1. A = I

(3)

Ejercicio: demuestra que si A y B son inversibles se verifica que (A.B)^-1=B^-1.A^-1

Cálculo de la matriz inversa

Cuando una matriz sea regular se nos plantea el problema de cómo calcular su inversa. Hay varios métodos.

1º) Resolviendo el sistema que plantea (3).

El nº de incógnitas que tiene este sistema es n². Se empleará para matrices de orden 2.

Ejemplo. Sea A = y llamemos a la inversa A^-1 = .

Tendríamos que = , por definición de inversa.

de donde: = Þ Þ A^-1= (Comprobarlo[11])

2º ) Mediante transformaciones elementales.

Si la matiz A se somete a ciertos cambios hasta obtener I, sometiendo a I a los mismos cambios llegamos a la inversa.

Ejemplo. Vamos a calcular la inversa de A =

Cómo debemos hacer a I las mismas transformaciones que a A, la siguiente colocación nos ahorrará tiempo y trabajo:

^{F1 - 2F3 F2 + F1}

, por lo tanto A^-1 =

3º) En el tema siguiente (determinantes) se dará un método para identificar las matrices que tienen inversa y, en su caso, obtenerla con comodidad

5. Rango de una matriz

Definición. Llamamos rango de una matriz al número de filas (o columnas) que son linealmente independientes.

Teorema: en una matriz, el número de filas l.i. coincide con el número de columnas l.i.

Cálculo del rango por el método de Gauss

Para hallar el rango de una matriz se procede a “hacer ceros” como en el método de Gauss, ya que las transformaciones elementales no modifican el rango, es decir conservan las relaciones de dependencia o independencia.

El rango de la matriz escalonada final es, obviamente, el número de filas distintas de (0 .......0)

6. Forma matricial de un sistema de ecuaciones

Consideremos un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas[12]. Teniendo en cuenta cómo se multiplican las matrices se puede escribir:

, que se escribirá AX =B (2)

A = matriz de los coeficientes del sistema.

X = matriz columna de las incógnitas.

B = matriz columna de los términos independientes.

Nota: Si la matriz A es cuadrada, es decir m =n, y regular, el sistema resulta compatible determinado y X =A^-1B. Lo estudiaremos con detalle en el tema siguiente.

Ejemplo: Sea el sistema , en forma matricial se escribiría:

Actividades propuestas

1. Dada la matriz A = y el vector X = , se pide obtener razonadamente:

a) el vector X tal que AX = 0X

b) Todos los vectores X tales que AX = 3X

c) Todos los vectores X tales que AX = 2X

(Selectividad, septiembre 2008)

2. a) Calcular las matrices reales cuadradas de orden 3, X e Y , que satisfacen las ecuaciones siguientes:

donde B = y C=

3. a) Calcular una matriz X que verifique la igualdad:

AX = B, con A = y B =

b) ¿Verifica también la matriz X la igualdad XA = B ?

3. Dada la matriz:

A= se pide:

a) Obtener la traspuesta de A.

b) Calcular (A-I)². (A-5I), siendo I la matriz unidad.

4. Halla la inversa de A = . Resuelve la ecuación: , siendo X una matriz de orden 2.

5. Obtener los valores de x, y, z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial:

x +

6. Estudia el rango de la matriz A= según los valores de k. ¿Existe algún valor de k para el que sea rang(A)=1

Nota: Se harán más ejercicios de matrices al acabar el tema de determinantes.

Determinantes

Introducción

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

En este curso estudiaremos, sobre todo, los determinantes de orden dos y los de orden tres. Los de orden superior se reducirán a éstos.

1. Determinantes de segundo y tercer orden. Regla de Sarrus

Definición 1. Dada una matriz de orden dos , se llama determinante de la matriz al número que se obtiene así: a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁.

Se representa det A ó ½A½.

Ejemplo: = 3-(-8) = 11.

Observación. La interpretación geométrica es que es el área orientada del paralelogramo que determinan los vectores (a₁₁, a₁₂) y (a₂₁, a₂₂). Comprobarlo con un ejemplo.

Se puede ver con detalle en Interpretación Geométrica del determinante, usando el applet Descartes.

http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Geometria_determinante/index.htm

Definición 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al nº que se obtiene así:

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.

Observar que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes y luego se suman todos manteniendo el mismo signo o cambiado, según la regla siguiente debida a Sarrus.

_{Términos positivos Términos negativos}

Ejemplo. Calcula el valor del determinante de la matriz A = .

Aplicando la regla de Sarrus ½A½= 0 + (-4) + 28 - 0 - (-2) -8 = 18

Otra forma práctica de recordar la definición es la siguiente:

Se escriben a la derecha (o debajo) de la matriz las dos primeras líneas. La diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +, la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo - .

Ejemplo. Calcula el valor del determinante = 16 +15 +18 -10 =39

2 0 -3

-1 2 1

Ejercicio. Calcula los siguientes determinantes:

a) , b) , c) .

2. Propiedades de los determinantes

Las propiedades que vamos a enunciar son generales para determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden do o tres.

1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det A^t .

(Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas).

2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo.

3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número.

(Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante)

Ejemplo 4. El determinante es múltiplo de 5, ya que la primera columna lo es. También es múltiplo de 7, pues lo es la 2ª columna, por lo tanto el determinante es múltiplo de 35.

4. Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, el determinante también lo es.

5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o proporcionales)el determinante es 0.

Ejempo 5. = 0, pues las dos primeras filas son proporcionales.

6. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse también como suma de dos determinantes.

Ejemplo 6: = + (Comprobarlo)

7. Si a una fila (columna) de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás el determinante no varía.

Ejemplo: A = , si a la columna 1ª se le suma la tercera multiplicada por -2, queda:

B = ,

= -1 + 12=-11, = -1-(12) =-11, son iguales.

8. Si una matriz tiene una fila (o columna) que es c.l. de las otras su determinante es cero. Y recíprocamente si un determinante es cero, tiene una fila (y una columna) combinación lineal de las demás.

Ejemplo. = 0 , pues la 3ª columna es la suma de las dos primeras.

9. Si una matriz cuadrada es triangular (superior o inferior) su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Consecuencia: Si I es la matriz identidad su determinante vale 1

10. El determinante de un producto de matrices (de órdenes iguales) es igual al producto de sus determinantes.

Es decir det AB = det A. det B.

Como consecuencia de esta propiedad:

11. Si $ A^-1 entonces ½A½^-1 =

En efecto, A.A^-1= I , luego = = 1, de donde el resultado.

Ejercicio 3. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes ecuaciones:

a) = = 8 ;

b) = 15 = 15

Ejercicio. Demostrar[13], sin desarrollar, que son ceros los siguientes determinantes:

a) ; b) ; c) .

3. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.

Definición.

Si A = (a_ij) es una matriz cuadrada de orden n, se llama menor complementario del elemento a_ij, y se representa M_ij, al determinante de la submatriz que se obtiene al suprimir de A la fila _i y la columna _j.

Ejemplo 9. Sea A = el menor complementario del a₂₁ es

M₂₁ = =-25.

Definición 2. Se llama adjunto del elemento a_ij a: A_ij = (-1)^i+j M_ij.

Nota. El adjunto de un elemento es igual a su menor complementario si la suma de subíndices es par, y a su opuesto si es impar.

Ejemplo. El adjunto del elemento a₂₁ = -1, de la matriz de ejemplo 1, es A₂₁=25.

Proposición 1. Un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un línea cualquiera por sus respectivos adjuntos.

Demostración. (La haremos para los de orden 3)

= aplicando la regla de Sarrus se tiene:

½A½= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃;

Sacando factor común los elementos de la primera fila:

½A½= a₁₁(a₂₂a₃₃-a₂₃a₃₂) + a₁₂(a₂₃a₃₁- a₂₁a₃₃) +a₁₃(a₂₁a₃₂-a₂₂a₃₁), es decir:

½A½= a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃

Análogamente se haría para cualquier otra línea.

Nota. Esta proposición nos da otra forma de calcular determinantes, se dirá que se ha obtenido su valor desarrollando por los elementos de una línea

Ejemplo. Calcula el determinante de A =

Solución.

Desarrollamos por la 2ª fila: = - (-1) + 0 -1 = -25 + 11 = -14

Proposición 2. La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de otra paralela es cero.

Demostración.

Es inmediata pues correspondería al desarrollo de un determinante con dos líneas iguales, y por las propiedades de los determinantes sería 0.

4. Determinantes de orden cualquiera.

Los métodos que vamos a indicar sirven para determinantes de cualquier orden, aunque nos limitaremos en los ejemplos a los de orden 4 o 5.

M1) Triangulación de un determinante

Utilizando las propiedades de los determinantes podemos conseguir un determinante triangular (sup. o inf) y, su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal.

La técnica para triangular un determinante es similar a la aplicada en el método de Gauss.

Ejercicio. Calcula el determinante: D= , triangulandolo.

M2) Reducción del orden. Se basa en la Proposición 1.

Nota. Como se puede elegir cualquier línea se tomará aquella que tenga más ceros.

Ejemplo. Calcula el valor del determinante D= .

Solución: Desarrollando por la 1ª columna:

D = 1. = 1.2. =1.2.3. =48

Ejercicio. Calcula el valor de D, del ejercicio 1, desarrollando por la 3ª fila.

Observaciones.

Al calcular un determinante de orden 4, por este método, tenemos que calcular cuatro determinantes de orden tres, que, aunque fácil, es laborioso.

En el ejemplo resuelto resultaba muy “oportuno” el que en las columnas haya tantos 0.

M3) Este método se puede considerar una “combinación” de M1 y M2 .

En primer lugar elegimos una línea y hacemos cero todos sus elementos menos uno; después desarrollamos por dicha línea y así sólo hay que calcular un derterminante de orden tres. Este proceso se puede generalizar.

Ejemplo. Calcula el valor de D = .

Solución

Elegimos la fila 3ª vamos a hacer 0 todos los elementos menos el a_33,

^{C1+ C3} _> ^{C2 + 2C3} _> ^{C4 + 2C3} _>

= - (Terminarle)

Determinante de Vandermonde.

El de orden 4 es de la forma V =

Para conseguir ceros en la 1ª columna, se resta, a cada fila la anterior multiplicada por a, empezando desde abaj .

Nos queda: =(b-a)(c-a)(d-a)

Y da un determinante del mismo tipo pero de orden tres, siguiedo el mismo proceso,

= (c-b)(d-b) = (c-b)(d-b)(d-c).

Luego: V = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).

Ejemplo. Calcula el valor de D = .

Solución: Sacando factor común a, b, y c obtenemos

D= a.b.c = a.b.c.(b-a)(c-a)(b-c).

Pues el determinante que resulta es de Vandermonde.

5. Rango de una matriz a partir de sus menores.

Como vimos en el tema de matrices el rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes.

Teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes (propiedad 7) deducimos:

La condición necesaria suficiente para que el determinante de una matriz cuadrada sea cero es que sus filas (o columnas) sean l.d.

Consecuencia: el rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos.

Ejercicio. Calcula el rango de la matriz

Ejercicio. Calcula el rango de la matriz según los valores del parámetro t

6. Calculo de la inversa de una matriz cuadrada utilizando determinantes

Una de las aplicaciones más importantes de los determinantes es que nos da un criterio para decidir cuándo una matriz posee inversa.

Teorema. Una matriz cuadrada A es inversible Û ½A½¹ 0. Además su inversa es:

A^-1 = .

Demostración .

Es consecuencia inmediata de las proposiciones 1 y 2. (Comprobarlo)

*Este teorema nos da un método para calcular la inversa:

1) Se calcula det A.

Si da 0: A no tiene inversa.

Si da distinto de 0:

2) Se calcula la matriz adjunta de A, adj A, es decir, la que tiene por elementos a los adjuntos de A:

(adj A)=

3) Se traspone la matriz adjunta. (adj A)^t

4) Se divide por el determinante de A.

El resultado es la inversa de A. Es decir :

A^-1 =

Ejemplo. Calcula la inversa de la matriz A =

Solución. El determinante de A vale 5, luego tiene inversa.

La matriz adjunta de A es , su traspuesta es y A^-1= .

Comprobación = =

Ejercicio. Calcula la inversa[14], caso de que exista, de la matriz:

A =

7. Utilización de determinantes en la discusión y resolución de sistemas lineales

Forma matricial de un sistema

Consideremos un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas.

Un sistema de m con n incógnitas se puede escribir, en general:

Teniendo en cuenta cómo se multiplican las matrices se puede escribir:

, es decir AX =B

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que el sistema AX =B sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas ( A )  sea igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes  ( A* ).

Es decir:  rango (A) = rango (A*).

Si el valor común de los rangos coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Si, por el contrario, el valor de los rangos es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado.

En resumen:

· Si rango (A) = rango (A*) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).

· Si rango (A) = rango (A*) < n (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).

· Si rango (A) # rango (A*), el sistema es incompatible (no tiene solución).

Resolución de sistemas lineales.

I) Método de la inversa.

Sea AX =B (1) un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Si la matriz de los coeficientes, A, tiene un determinante distinto de cero, entonces será inversible, luego multiplicando ambos miembros de (1) por A^-1, obtenemos:

X= A^-1B

A^{-1 (}AX) = A^-1B, de donde:

.

II) Regla de Cramer.

Definición. Un sistema con n ecuaciones lineales y n incógnitas se dice que es de Cramer, cuando el determinante de la matriz A de los coeficientes es ¹0.

Consecuencia. Todo sistema de Cramer es compatible determinado.

En efecto: S1 AX =B es un sistema de Cramer, entonces existe A^-1, luego (2) nos da la solución única.

Veamos la expresión de las soluciones en el caso de n = 3.

La inversa vimos que es:

A^-1 = .Þ =

de donde: x = ( b₁A₁₁ + b₂ A₂₁+ b₃ A₃₁)Þ[15]

.: Análogamente

Que constituye la llamada regla de Cramer.

Ejemplo. Resuelve, usando la regla de Cramer, el sistema:

Solución

A = , = 4 ¹ 0, luego es de Cramer.

Por lo tanto aplicando la regla obtenemos:

x = = , y = =- = -30, z = =-11

Observación. Los determinantes, y la Regla de Cramer, son especialmente útiles en la discusión y resolución de sistemas lineales dependientes de un parámetro.

Ejemplo Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro k:

Solución

A= , = - k - 1 + 4 - 2 - 2 - k = -2k - 1.

Discusión

· Si - 2k -1 0, es decir k - 1/2, entonces el sistema es de Cramer, luego el sistema es compatible determinado.

La solución se encuentra usando la regla de Cramer:

x = = , y = =..... z = ........(acabarle)

· Si k = -1/2, el sistema no es de Cramer.

Sustituyendo k por -1/2, obtenemos el sistema:

Para clasificarlo y resolverlo usamos Gauss

Þ 0z = 1/2

luego el sistema es incompatible.

Conclusión: Si k distinto de -1/2, compatible determinado; si k=-1/2 incompatible.

Ejercicio. Utiliza la regla de Cramer[16] para resolver el siguiente sistema:

x - y + z = 1

2x +3y -2z = -2

Ejercicio. Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro k.

¿Para qué valores de k el sistema es de Cramer? Interpreta geométricamente cada caso.

Ejercicios y problemas propuestos

1. Sabiendo que , calcula sin desarrollar:

a) , b)

2. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX = 2B-C

Donde A = , B = y C =

3. Resolver la ecuación matricial XA = B + C, donde:

A = , B = , C =

4. Dadas las matrices cuadradas A = , B = , e I la matriz unidad, se pide:

a) Justificar que la matriz A tiene inversa y obtener razonadamente la matriz inversa A^-1, incluyendo en la respuesta todos los pasos que llevan a la obtención de A^-1.

b) Calcular, razonadamente, el determinante de la matriz 3 A^-1, incluyendo en la respuesta todos los pasos realizados.

c) Obtener, razonadamente, los valores reales, x, y, z que verifican la ecuación xI+yA+zA²=B

(Selectividad 2009)

5. Considera las matrices A = y B =

a) Para que valores reales de m A es inversible?

b) En la anterior matriz A con m =0 , obtener la matriz real cuadrada X de orden 3 que satisface la igualdad:

B – AX =AB

6. Resuelve la ecuación matricial:

7. Obtén todas las matrices columnas X= que sean soluciones de la ecuación matricial AX=B, siendo

A= y B= . ¿Cuáles de esas matrices X tienen la primera fila nula?

8. Dado el sistema de ecuaciones lineales , dependiente del parámetro real λ, se pide:

a) Determinar para qué valores de λ el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado, e incompatible.

b) Obtener las soluciones en los casos compatible determinado y compatible indeterminado.

9. Dado el sistema de ecuaciones lineales , se pide:

a) Probar que es compatible para todo valor de α.

b) Obtener razonadamente el valor de α para el que el sistema es indeterminado.

c) resolver el sistema cuando α=0, escribiendo los cálculos necesarios para ello. (Selectividad 2008)

10. Dado el sistema de ecuaciones lineales se pide, razonando las respuestas:

a) Justificar que para el valor α=0 el sistema es incompatible[17].

b) Determinar los valores del parámetro α para los que el sistema es compatible y determinado.

c) Resolver el sistema para el valor del parámetro α para el cual es compatible indeterminado.

(Selectividad 2009)

Nota. Hacer los ejercicios de Álgebra de la hoja de selectividad septiembre 2009

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[1] Método de Gauss. Se estudiarán más métodos en los dos temas siguientes.

[2] Se parte de que ya se han dado ecuaciones en cursos anteriores.

[3] Reflexiva, simétrica y transitiva.

[4] O forma matricial del método de Gauss.

[5] Se llama matriz ampliada del sistema.

[6] En el tema de determinantes veremos otra forma de resolver este tipo de sistemas.

[7] “ Cómo plantear y resolver problemas”. G. Polya, Edit. Trillas

[8] Tiene que ser cuadrada.

[9] Demostrar las afirmaciones como ejercicio.

[10] Comprobarlo como ejercicio.

[11] La comprobación es obligatoria, independientemente del método que usemos para encontrar la inversa.

[12] Ver (1) del tema anterior.

[13] Indica la propiedad por la que eso ocurre.

[14] La comprobación es obligatoria.

[15] Ya que es el desarrollo del determinante de una matriz, construida a partir de A, en la que se ha sustituido la columna 1ª por los términos independientes.

[16] Todo sistema compatible puede reducirse a uno de Cramer.

[17] Para ese valor los rangos de la matriz ampliada y la de los coeficientes no coinciden