Cuando el número de divisiones del
intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto, SD, y
por exceso, SE, coincidirán y ese valor común será el área
encerrada.
Integral definida
Supongamos que f es una función continua y
positiva en el intervalo [a, b].
Definición Se llama partición de [a, b]
a todo conjunto ordenado de puntos de [a, b], donde el primero es a y el último
b. Es decir
P={p0, p1,......,pn} a=
p0<p1<.....<pn= b
Llamaremos diámetro de una partición P a la
mayor de las diferencias pi-pi-1, i=1,2, ..,n
Sean mi = mín f(x)], Mi
= máx f(x), x[pi-1, pi]
Definición. Llamaremos suma inferior de f
para la partición P de [a, b] y escribiremos s(f.P), a:
s(f,P)= ,
es decir a la suma de las
áreas de los rectángulos que quedan por debajo de la gráfica de f, que es una
aproximación del área que encierra f (área por defecto)[1]
Análogamente suma superior, S(f, P)
S(f, P)=
que geométricamente representa
la suma de las áreas de los rectángulos de base (pi-pi-1)
y altura Mi (área por exceso)
Proposición.
Para toda
partición de [a, b] se verifica s(f,P) S(f, P).
Demostración
Evidente ya que siempre se verifica mi Mi
Definición. Una partición Q se dice que es
más fina que otra P, PQ, si todo punto de P lo
es de Q.
Proposición. Si P es más fina que Q
s(f, P)s(f, Q)S(f, Q)S(f, P)
es decir, al aumentar el
número de puntos de la partición el área por defecto aumenta y el área por
defecto disminuye. (Trivial)
Definición de integral definida
Consideremos una sucesión de particiones P1 P2....Pn.......donde
el diámetro () de Pn tiende a
cero. Por la proposición anterior se sigue:
Estas dos sucesiones al ser monótonas y
acotadas son convergentes y tienden a un mismo número real, al que llamamos la
integral definida de f en [a, b], se denota:
Geométricamente la integral definida mide
el área comprendida entre la curva y= f(x) el eje de las X y las rectas x= a y x=
b.
Observación. Para las funciones de signo
no constante se llegaría a la misma definición de integral definida, aunque en
esos casos la integra no representa un área.
Por convenio se define, con lo cual
tiene sentido la integral para b<a. Si a= b la integral es cero.
5. Propiedades de la integral definida
1) Aditividad respecto del intervalo
Si f es continua en [a, b]y c(a, b)
2) Si f es continua en [a, b]
3) Linealidad de la integral definida
Si f y g son continuas en [a, b]
a)
b)
4) Teorema del valor medio (para
integrales)
Si f es continua en [a, b] tal
que:
Interpretación geométrica:
Si f es positiva el área que encierra f es
igual al del rectángulo de base b-a y de altura
6. Cálculo de la integral definida.
Regla de Barrow
Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f una función continua en [a, b] y
definamos F(x)= . Entonces F es derivable y
F’(c)= f(c) para todo c [a, b]
Demostración
F’(c)=; suponemos que h>0,para
h<0 se procedería igual.
F(c +h)-F(c)= (por la aditividad)
Aplicando el teorema del valor medio = f()h,
(c, c +h)
y tomando límites
cuando h tiendo a cero y que f es continua se llega a la tesis.
Consecuencia.Si f es continua en [a, b]
F(a)= es
una primitiva de f
Observación.
Para hallar
el área de un trapecio curvilíneo basta con hallar una primitiva de la función
que lo define. Para saber cuál es la primitiva que interesa se utiliza la regla
de Barrow.
Regla de Barrow
Si f es continua en [a, b] y G es una
primitiva de f
Demostración
Consideremos F(x)= , que es primitiva
de f. Como G también lo es
F(x)= G(x) + C =
Para x= a, G(a)+C= 0 C= -G(a)
Como
F(b)= ,
se llega a =
G(b)-G(a)=
Ejemplo
1.
7. Aplicaciones al cálculo de áreas y
volúmenes de revolución
Áreas de recintos planos
Teniendo en cuenta
los resultados anteriores el área que encierra una curva f con el eje de
abscisas y las rectas x= a y x= b se puede calcular así:
El área encerrada por dos curvas f y g
entre a y b será
Ejemplo
2. Calcula el área del recinto determinado por la parábola y=x-x2 y
el eje OX.
Solución
= ==
Ejercicio 1. Hallar el área limitada por las gráficas de f(x)= x y
g(x)=
Ejercicio 2. Hallar el área limitada por las gráficas de las parábolas
y =x2 y x = y2
Volúmenes de revolución
Si se conoce el área de la sección plana para todo x de [a, b], S(x) V =
En particular para los volúmenes de
revolución (Obtenidos al girar en torno al eje X): V =
Ejemplo 3. Hallar el volumen de la esfera de radio r.
f(x)= , luego V =
EJERCICIOS
DE MATEMÁTICAS
1.
Halla el área de la región comprendida entre las curvas determinadas por
f(x)=4–x2 y g(x)=3x2.
2.
Calcula el área del recinto cerrado comprendido entre la curva y =x2+1
y las rectas y = x, x = -1, x = 2.
3.
Calcula el área del recinto del plano limitado por el eje X y por las gráficas
de las funciones y = x2+4x+4 e y = 2x+3. Realice un esbozo gráfico.
4. Hallar el área del
recinto limitado por la curva y =4-x2 y los segmentos AB y BC,
siendo A = (-2,0), B =(-2,4) y C = (2,0). (Sol. 6,33)
5. Dada la función f(x) =
¿puede ser función de
densidad para alguna variable aleatoria continua? Justifíquese la respuesta.
(Sol. No)
Nota. Si f(x) es una función de densidad
6.
Dada la función f(x)=x3-3kx2+ 9x+5:
a)
Calcular el valor de k para que la función tenga un punto de inflexión en x =2
b)
Calcular el área que deja la derivada de la función debajo del eje X.
7.
Durante un cierto periodo de tiempo, las hojas de una especie vegetal
transpiran a razón de 2mg de agua por cm2. Los bordes de una de
dichas hojas coinciden con los del recinto acotado del plano limitado por las
curvas de ecuaciones y =(5x)1/2 e y=(1/5)x2, donde x e y
están expresados en cm. Calcular la cantidad de agua transpirada por dicha hoja
en el periodo de tiempo citado. (Sol.16,66mg )
¿Qué valor debe tener a para que el área
encerrada por la curva y= f(x), y= 2 y el eje vertical sea igual al área
encerrada por la curva y= f(x), x= a y el eje horizontal.
4. Las rectas y= x+1, y= -2x+10 e y= -x-1
determinan un triángulo del que queremos conocer su área.
5. a)¿Qué valor debe tener a para que la
recta y= -x+6 y la curva y= -ax2+5x-1 sean paralelas en x= 1
b) ¿Cuál es el máximo valor posible de a
para que el recinto encerrado por ambas curvas no sea vacío?.
6. La curva y= x3-a y la recta y= bx+1
se cortan en los puntos de abscisa x= -1 y x= 2.
a) Hallar los parámetros a y b.
b) Hallar el área encerrada por ambas.
7. a) Hallar a>0 para que
b) Representar las rectas y= x-1, x= a,
para el valor d a obtenido en el apartado anterior. Al observar el gráfico
resultante, ¿podemos decir que el área entre las rectas y= x-1, x= a, x=0 y el
eje horizontal es 4?
8. Hallar el área encerrada por la curva y el
eje de abscisas.
Cuando el número de divisiones del
intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto, SD, y
por exceso, SE, coincidirán y ese valor común será el área
encerrada.
[pi-1, pi]
,
S(f, P).
) de Pn tiende a
cero. Por la proposición anterior se sigue:
, con lo cual
tiene sentido la integral para b<a. Si a= b la integral es cero.
tal
que: 
. Entonces F es derivable y
F’(c)= f(c) para todo c
; suponemos que h>0,para
h<0 se procedería igual.
(por la aditividad)
)h,
y tomando límites
cuando h tiendo a cero y que f es continua se llega a la tesis.
es
una primitiva de f
, que es primitiva
de f. Como G también lo es 
,
se llega a 
= =
=
, luego V =
e 
y el
eje de abscisas.