INTEGRAL DEFINIDA

Si A es el área buscada se tiene S_D < A < S_E

Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto, S_D, y por exceso, S_E, coincidirán y ese valor común será el área encerrada.

Integral definida

Supongamos que f es una función continua y positiva en el intervalo [a, b].

Definición Se llama partición de [a, b] a todo conjunto ordenado de puntos de [a, b], donde el primero es a y el último b. Es decir

P={p₀, p₁,......,p_n} a= p₀<p₁<.....<p_n= b

Llamaremos diámetro de una partición P a la mayor de las diferencias p_i-p_i-1, i=1,2, ..,n

Sean m_i= mín f(x)], M_i = máx f(x), x[p_i-1, p_i]

Definición. Llamaremos suma inferior de f para la partición P de [a, b] y escribiremos s(f.P), a:

s(f,P)= ,

es decir a la suma de las áreas de los rectángulos que quedan por debajo de la gráfica de f, que es una aproximación del área que encierra f (área por defecto)[1]

Análogamente suma superior, S(f, P)

S(f, P)=

que geométricamente representa la suma de las áreas de los rectángulos de base (p_i-p_i-1) y altura M_i (área por exceso)

Proposición. Para toda partición de [a, b] se verifica s(f,P) S(f, P).

Demostración

Evidente ya que siempre se verifica m_i M_i

Definición. Una partición Q se dice que es más fina que otra P, PQ, si todo punto de P lo es de Q.

Proposición. Si P es más fina que Q

s(f, P) s(f, Q) S(f, Q) S(f, P)

es decir, al aumentar el número de puntos de la partición el área por defecto aumenta y el área por defecto disminuye. (Trivial)

Definición de integral definida

Consideremos una sucesión de particiones P₁ P₂....P_n.......donde el diámetro () de P_n tiende a cero. Por la proposición anterior se sigue:

s(f, P₁) s(f, P₂) ..... s(f, P_n),,,,, S(f, P_n) .....S(f, P₁)

Estas dos sucesiones al ser monótonas y acotadas son convergentes y tienden a un mismo número real, al que llamamos la integral definida de f en [a, b], se denota:

Geométricamente la integral definida mide el área comprendida entre la curva y= f(x) el eje de las X y las rectas x= a y x= b.

Observación. Para las funciones de signo no constante se llegaría a la misma definición de integral definida, aunque en esos casos la integra no representa un área.

Por convenio se define, con lo cual tiene sentido la integral para b<a. Si a= b la integral es cero.

5. Propiedades de la integral definida

1) Aditividad respecto del intervalo

Si f es continua en [a, b]y c(a, b)

2) Si f es continua en [a, b]

3) Linealidad de la integral definida

Si f y g son continuas en [a, b]

4) Teorema del valor medio (para integrales)

Si f es continua en [a, b] tal que:

Interpretación geométrica:

Si f es positiva el área que encierra f es igual al del rectángulo de base b-a y de altura

6. Cálculo de la integral definida. Regla de Barrow

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f una función continua en [a, b] y definamos F(x)= . Entonces F es derivable y F’(c)= f(c) para todo c [a, b]

Demostración

F’(c)=; suponemos que h>0,para h<0 se procedería igual.

F(c +h)-F(c)= (por la aditividad)

Aplicando el teorema del valor medio = f()h, (c, c +h)

y tomando límites cuando h tiendo a cero y que f es continua se llega a la tesis.

Consecuencia. Si f es continua en [a, b] F(a)= es una primitiva de f

Observación. Para hallar el área de un trapecio curvilíneo basta con hallar una primitiva de la función que lo define. Para saber cuál es la primitiva que interesa se utiliza la regla de Barrow.

Regla de Barrow

Si f es continua en [a, b] y G es una primitiva de f

Demostración

Consideremos F(x)= , que es primitiva de f. Como G también lo es

F(x)= G(x) + C =

Para x= a, G(a)+C= 0 C= -G(a)

Como F(b)= , se llega a = G(b)-G(a)=

Ejemplo 1.

7. Aplicaciones al cálculo de áreas y volúmenes de revolución

Áreas de recintos planos

Teniendo en cuenta los resultados anteriores el área que encierra una curva f con el eje de abscisas y las rectas x= a y x= b se puede calcular así:

El área encerrada por dos curvas f y g entre a y b será

Ejemplo 2. Calcula el área del recinto determinado por la parábola y=x-x² y el eje OX.

Solución

Ejercicio 1. Hallar el área limitada por las gráficas de f(x)= x y g(x)=

Ejercicio 2. Hallar el área limitada por las gráficas de las parábolas y =x² y x = y²

Volúmenes de revolución

Si se conoce el área de la sección plana para todo x de [a, b], S(x) V =

En particular para los volúmenes de revolución (Obtenidos al girar en torno al eje X): V =

Ejemplo 3. Hallar el volumen de la esfera de radio r.

f(x)= , luego V =

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS

1. Halla el área de la región comprendida entre las curvas determinadas por f(x)=4–x² y g(x)=3x².

2. Calcula el área del recinto cerrado comprendido entre la curva y =x²+1 y las rectas y = x, x = -1, x = 2.

3. Calcula el área del recinto del plano limitado por el eje X y por las gráficas de las funciones y = x²+4x+4 e y = 2x+3. Realice un esbozo gráfico.

4. Hallar el área del recinto limitado por la curva y =4-x² y los segmentos AB y BC, siendo A = (-2,0), B =(-2,4) y C = (2,0). (Sol. 6,33)

5. Dada la función f(x) =

¿puede ser función de densidad para alguna variable aleatoria continua? Justifíquese la respuesta. (Sol. No)

Nota. Si f(x) es una función de densidad

6. Dada la función f(x)=x³-3kx²+ 9x+5:

a) Calcular el valor de k para que la función tenga un punto de inflexión en x =2

b) Calcular el área que deja la derivada de la función debajo del eje X.

7. Durante un cierto periodo de tiempo, las hojas de una especie vegetal transpiran a razón de 2mg de agua por cm². Los bordes de una de dichas hojas coinciden con los del recinto acotado del plano limitado por las curvas de ecuaciones y =(5x)^1/2 e y=(1/5)x², donde x e y están expresados en cm. Calcular la cantidad de agua transpirada por dicha hoja en el periodo de tiempo citado. (Sol.16,66mg )

EJEMPLOS DE CUESTIONES Y PROBLEMAS[2]

1. Dadas las parábolas e

a) Hallar el área encerrada por ambas

b) La distancia entre sus vértices.

2. Integrar las funciones

a) ; b) ; c) ;

d) ; f)

3. Sea

¿Qué valor debe tener a para que el área encerrada por la curva y= f(x), y= 2 y el eje vertical sea igual al área encerrada por la curva y= f(x), x= a y el eje horizontal.

4. Las rectas y= x+1, y= -2x+10 e y= -x-1 determinan un triángulo del que queremos conocer su área.

5. a)¿Qué valor debe tener a para que la recta y= -x+6 y la curva y= -ax²+5x-1 sean paralelas en x= 1

b) ¿Cuál es el máximo valor posible de a para que el recinto encerrado por ambas curvas no sea vacío?.

6. La curva y= x³-a y la recta y= bx+1 se cortan en los puntos de abscisa x= -1 y x= 2.

a) Hallar los parámetros a y b.

b) Hallar el área encerrada por ambas.

7. a) Hallar a>0 para que

b) Representar las rectas y= x-1, x= a, para el valor d a obtenido en el apartado anterior. Al observar el gráfico resultante, ¿podemos decir que el área entre las rectas y= x-1, x= a, x=0 y el eje horizontal es 4?

8. Hallar el área encerrada por la curva y el eje de abscisas.