TEOREMA DE BOLZANO
Si f
es continua en [a, b] y f(a) < 0 < f(b), existe algún número 
en [a, b] tal que
f()=0
Demostración
Llamemos
A = {x
[a,
b]/f es negativa en el intervalo [a, x]}
Entonces
A
puesto
que aA
Por
ser f continua y f(a)< 0 entonces existe 
1>0 tal que f(x) < 0
en [a, a+1)
luego [a, a+1)
A
b es
una cota superior de A y por ser f(b)< 0 existe 2> 0 tal que
f(x)>0 en (b-2,
b], por la continuidad de f en b. Entonces todos esos puntos son cotas
superiores de A.
Por
lo tanto podemos asegurar que existe el supremo de A , (“si A es un conjunto no vacío de números reales y A está
acotado superiormente entonces tiene supremo”), le llamamos , se verificará entonces
a< <
b, y vamos a probar que f() = 0
Lo haremos por reducción al absurdo.
Supongamos
que f()< 0, entonces existe >0 tal que
f(x)< 0 para - < x <+
Por
ser el
supremo de A, dado ese >0 existe x0
perteneciente a A tal que - < x0 < , por definición
de supremo. Como x0 pertenece a A, por su definición, se sigue que f
es negativa en [a, x0].
Si x1
es un número comprendido entre y + f es también negativa en todo el
intervalo [x0, x1], luego f será negativa también en [a,
x1] , de donde x1 pertenece a A, en contra de que era el supremo.
Luego no puede ser f()< 0.
Análogamente
se demuestra que no puede ser f()>0
Como
conclusión deducimos que f()=0 que es lo que queríamos
probar.
Consecuencia: Teorema de los valores intermedios
Si f es continua en [a, b] y f(a) < c < f(b), existe x perteneciente a [a, b] tal que f(x)=c
Demostración
Basta considerar la función g= f-c y aplicar el T. Bolzano
Consecuencia.
Todo número positivo posee raíz cuadrada. Es decir si > 0 existe x tal que x2
=
Demostración
Consideramos
la función f(x)=x2, f es continua y por tanto se puede encontrar un
b>0 tal que f(b)> (si >1, se puede tomar b=, y si
< 1, se puede
tomar b = 1) En todo caso tenemos f(0)=0< < f(b), lo que implica que existe
x entre 0 y b tal que x2 =
