TEOREMA DE BOLZANO

Si f es continua en [a, b] y f(a) < 0 < f(b), existe algún número  en [a, b] tal que f()=0

Demostración

Llamemos A = {x[a, b]/f es negativa en el intervalo [a, x]}

Entonces A puesto que aA

Por ser f continua y f(a)< 0 entonces existe 1>0 tal que f(x) < 0 en [a, a+1) luego  [a, a+1) A

b es una cota superior de A y por ser f(b)< 0 existe 2> 0 tal que f(x)>0 en (b-2, b], por la continuidad de f en b. Entonces todos esos puntos son cotas superiores de A.

Por lo tanto podemos asegurar que existe el supremo de A , (“si A es un conjunto no vacío de números reales y A está acotado superiormente entonces tiene supremo”), le llamamos , se verificará entonces  a<  < b, y vamos a probar que f() = 0

Lo haremos por reducción al absurdo.

Supongamos que f()< 0, entonces existe >0 tal que f(x)< 0 para - <  x <+

Por ser  el supremo de A, dado ese  >0  existe x0 perteneciente a A tal que   - < x0 < , por definición de supremo. Como x0 pertenece a A, por su definición, se sigue que f es negativa en [a, x0].

Si x1 es un número comprendido entre  y  +  f es también negativa en todo el intervalo [x0, x1], luego f será negativa también en [a, x1] , de donde x1 pertenece a A, en contra de que  era el supremo. Luego no puede ser f()< 0.

Análogamente se demuestra que no puede ser f()>0

Como conclusión deducimos que f()=0 que es lo que queríamos probar.

 

Consecuencia: Teorema de los valores intermedios

Si f es continua en [a, b] y f(a) < c < f(b), existe x perteneciente a [a, b] tal que f(x)=c

Demostración

Basta considerar la función g= f-c y aplicar el T. Bolzano

 

Consecuencia. Todo número positivo posee raíz cuadrada. Es decir si > 0 existe x tal que x2 =

Demostración

Consideramos la función f(x)=x2, f es continua y por tanto se puede encontrar un b>0 tal que f(b)>  (si >1, se puede tomar b=, y si

< 1, se puede tomar b = 1) En todo caso tenemos f(0)=0< < f(b), lo que implica que existe x entre 0 y b tal que x2 =